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相关试卷

1、著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{13}$ 表示这些半音的频率，它们满足 $\log_{2} {(\frac{a_{i + 1}}{a_{i}})}^{12} = 1 (i = 1, 2, \dots, 12)$ .若某一半音与 $D^{#}$ 的频率之比为 $\sqrt[3]{2}$ ，则该半音为（）
频率
$a_{1}$
$a_{2}$
$a_{3}$
$a_{4}$
$a_{5}$
$a_{6}$
$a_{7}$
$a_{8}$
$a_{9}$
$a_{10}$
$a_{11}$
$a_{12}$
$a_{13}$
半音
C
$C^{#}$
D
$D^{#}$
E
F
$F^{#}$
G
$G^{#}$
A
$A^{#}$
B
C（八度）

A、 $F^{#}$ B、G C、 $G^{#}$ D、A

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2、函数 $y = \lg (x^{2} - 2 x - 3)$ 的定义域为

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- 3, 1)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$

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3、已知集合 $A ={x \in R|3x+2>0}$ ， $B={x \in R|(x+1)(x-3)>0}$ ，则 $A \cap B$ =

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- 1, - \frac{2}{3})$ C、 $(- \frac{2}{3}, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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4、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x$ ．现已画出函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴右侧的图象，如图所示．

(1)、画出函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴左侧的图象，根据图象写出函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(3)、解不等式 $x f (x) < 0$ .

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5、已知函数 $f (x) = \ln (3 - x) + \cos (2 - x)$ 的图象与 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称.

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) - 1 \leq a x$ 在定义域内恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、求证： $\sum_{i = n + 1}^{2 n} g (\frac{1}{i}) < \ln 2 + n (n \in N^{*})$ .

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6、已知集合 $A = \{- 4, - 2, 0, 2, 4\}$ ， $B = \{x | x^{2} + 2 x - 3 < 0\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $\{- 4, 2, 4\}$ B、 $\{- 4, - 2, 4\}$ C、 $\{- 2, 0\}$ D、 $\{- 4, - 2, 0\}$

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7、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = \sqrt{2}$ ，取 $C D$ 中点 $M$ ，将 $△ A D M$ 和 $△ B C M$ 分别沿直线 $A M$ ， $B M$ 折叠，使 $D$ ， $C$ 两点重合于点 $P$ 得到三棱锥 $P - A B M$ ．

(1)、当 $A B = 2$ 时，求证： $A M ⊥ P B$ ；

(2)、若二面角 $A - P M - B$ 的平面角为 $60^{\circ}$ ，是否存在 $A M$ 上一点 $E$ ，使得 $P E$ 与平面 $P B M$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ？若存在，请求出 $E$ 点的位置；若不存在，请说明理由．

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8、若直线 $y = k (x - 3) - 1$ 与曲线C： $y = \sqrt{2 - x^{2}}$ 有两个不同的公共点，则k的取值范围是（）

A、 $(- 1, \frac{1}{7})$ B、 $(- \frac{3 + \sqrt{2}}{7}, - \frac{1}{7}]$ C、 $(- 1, - \frac{3 + \sqrt{2}}{7}]$ D、 $(- \infty, - 1) \cup \{- \frac{3 + \sqrt{2}}{7}\}$

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9、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n} + 2 S_{n} = 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n} = a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + \dots + (2 n - 1) a_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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10、如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $D D_{1}$ ， $B D$ 的中点， $G$ 为 $线段 B B_{1}$ 上一点.

(1)、求证： $E F ⊥ C F$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $C E F$ 的距离；

(3)、当 $B G$ 为何值时，平面 $C G F$ 与平面 $C E F$ 所成的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ .

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11、已知圆 $C$ 经过点 $(2, 2)$ ，且圆心为 $C (2, 0)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l_{1}$ 经过点 $A (4, 1)$ ，且 $l_{1}$ 与圆 $C$ 相交所得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(3)、求与圆 $C$ 关于直线 $x + y + 2 = 0$ 对称的圆 $D$ 的一般方程．

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12、已知 $△ A B C$ 的三个顶点为 $A (4 ， 0) ， B (0 ， 2) ， C (2 ， 6)$ .

(1)、求 $A C$ 边上的高 $B D$ 所在直线的方程；

(2)、求 $B C$ 边上的中线 $A E$ 所在直线的方程；

(3)、求三角形 $A B E$ 的面积.

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13、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $1$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $B C$ ， $C D$ 的中点，点 $G$ 为线段 $A F$ 的中点.

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ ， $\vec{A D}$ 表示 $\vec{A G}, \vec{E G}$ ；

(2)、求 $\vec{A G} \cdot \vec{A B}$ 的值；

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

(1)、求平面 $A_{1} B C$ 的一个法向量．

(2)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的线面角的正弦值；

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15、著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如： $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 可以转化为平面上点 $M (x, y)$ 与点 $N (a, b)$ 之间的距离，结合．上述观点，可得 $\sqrt{x^{2} - 4 x + 20} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$ 的最小值为．

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16、直线l的方向向量为 $\vec{m} = (1, 0, - 1)$ ，且l过点 $A (1, 1, 1)$ ，则点 $P (- 2, 4, 2)$ 到l的距离为.

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17、已知直线的方程为 $\frac{x}{- 5} + \frac{y}{6} = 1$ ，那么此直线在 $x$ 轴上的截距为．

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18、已知曲线 $Ω : x^{2} + y^{2} = |x| + |y|$ ，点 $P (a, b)$ 在曲线 $Ω$ 上，则下列结论正确的是（）

A、当 $b = 0$ 时， $a = 1$ B、当 $x > 0, y > 0$ 时，曲线为圆心为 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ，半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 圆的一部分 C、曲线 $Ω$ 有4条对称轴，且围成的图形面积为 $π + 2$ D、当点 $P (a, b)$ 在第四象限， $\frac{b}{a - 2}$ 的最大值是1

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19、已知圆 $O_{1} : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，点 $A (2, 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、点A在圆外 B、点 $A (2, 0)$ 是 $2 x + m y - 4 = 0$ 的定点 C、已知 $B (1, 0)$ ，过点B作圆的最短弦长为 $2 \sqrt{2}$ D、过点 $A$ 作圆 $O_{1}$ ： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 的切线 $l$ ，则 $l$ 的方程为 $2 x - y - 4 = 0$

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20、设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2, y, 2)$ ， $\vec{c} = (3, - 6, 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则下列正确的（）

A、 $x = 2$ B、 $y = 4$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ 6 D、 $c o s ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{1}{3}$

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