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相关试卷

1、知 $a, b \in R$ ，若 $(a + b i) (2 - 5 i) = 3 - i^{2025}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{11}{29}$ B、 $\frac{1}{29}$ C、 $\frac{13}{29}$ D、 $- \frac{13}{29}$

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2、已知全集 $U = R$ 集合 $A = \{x |- \frac{3}{2} < x < 3\}$ . $B = \{x ∣ y = ln (3 x - 5)\}$ .则 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{x | x > \frac{3}{2}\}$ B、 ${x ∣ x < 3}$ C、 ${x | x \leq \frac{5}{3}$ 或 $x > 3}$ D、 $\{x |x < \frac{3}{2}$ 或 $x \geq \frac{5}{3}\}$

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3、若数列 $\{a_{n}\} (1 \leq n \leq m + k, n \in N^{*}, m, k \in N^{*})$ 满足 $a_{n} \in \{- 1, 1\}$ .定义广义规范数列如下： $\{a_{n}\}$ 中共有 $m + k$ 项 $(m \geq k)$ ，其中 $m$ 项为 $- 1, k$ 项为1，且对任意 $i \leq m + k$ 项， $a_{1}, a_{2}, \dots a_{i}$ 中的－1的个数不少于1的个数．当 $m = k$ 时，满足上述定义的数列称为规范数列．记 $f (m, k)$ 表示“广义规范数列”的个数.

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $f (m, 2), \forall m > 2$ ；进一步证明：当 $m > k$ 时， $f (m, k) = f (m - 1, k) + f (m, k - 1)$ ；

(3)、当 $k = 5$ 且 $m \geq 9$ 时，记 $P_{m + 5}$ 表示 $m + 5$ 项数列中符合广义规范数列的概率，求证： $P_{m + 5} \leq \frac{7}{64}$ ．
（提示： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ）

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4、已知函数 $f (x) = ln (e^{2 x} + 1) - a x - |x|$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明：曲线 $f (x)$ 是轴对称图形；

(3)、若 $f (x) \leq ln 2$ 在R上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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5、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，已知 $A B = A C = C D = 2, B C = A D, A C ⊥ B D$ ．

(1)、若 $B D = 2$ ，求证： $A B ⊥ C D$ ；

(2)、若 $B D = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ，求直线 $A B$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值．

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6、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ ，斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M, N$ 两点，且 $M (1, - 2)$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、试探究：抛物线 $C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $P M ⊥ P N$ ？若存在，求出 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由.

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7、在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，其中 $a = 7, b = 8, c o s B = - \frac{1}{7}$
（1）求 $∠ A$ ；
（2）求 $A C$ 边上的高，

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8、学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为．

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9、已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线与双曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，则 $△ M N F_{1}$ 的周长为．

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10、已知 $f (x) = \frac{1}{2} sin 2 x$ ，下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增 C、当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围为 $[- \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}]$ D、 $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到

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11、某物理量的测量结果服从正态分布 $N (10, σ^{2})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $σ$ 越小，该物理量在一次测量中落在 $(9.9, 10.1)$ 内的概率越大 B、该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C、该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D、该物理量在一次测量中结果落在 $(9.9, 10.2)$ 与落在 $(10, 10.3)$ 的概率相等

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12、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，点 $P, Q$ 均在 $C$ 上，且关于原点对称，若直线 $A P, A Q$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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13、已知直线 $a, b$ 分别在两个不同的平面 $α, β$ 内，则“直线 $a$ 和直线 $b$ 平行”是“平面 $α$ 和平面 $β$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、 $\tan 195 ° =$ （）

A、 $- 2 - \sqrt{3}$ B、 $- 2 + \sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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15、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (2, 3), \vec{a} - \vec{b} = (2, - 1)$ ，则 ${|\vec{a}|}^{2} - {|\vec{b}|}^{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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16、已知集合 $A = \{x| 0 < x^{2} < 3\}, B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，其前n项的积为 $T_{n}$ ，记 $b_{1} = T_{1}$ ， $b_{n} = \sqrt[n]{T_{n}} (n \geq 2)$ .
（1）若数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，求数列 $\{a_{n}\}$ 的公比.
（2）若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $n a_{n}_{- 1} - (n - 1) a_{n} = a_{n}_{- 1} a_{n}, (n \geq 3)$
①求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.
②记 $c_{n} = \ln b_{n}$ ，那么数列 $\{c_{n}\}$ 中是否存在两项 $c_{s}, c_{t}$ ，（s，t均为正偶数，且 $s < t$ ），使得数列 $c_{s}$ ， $c_{8}$ ， $c_{t}$ ，成等差数列？若存在，求s，t的值；若不存在，请说明理由.

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18、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴长为4，直线 $2 x - y = 0$ 为双曲线 $C$ 的一条渐近线.
（1）求双曲线 $C$ 的标准方程；
（2）记双曲线 $C$ 的左､右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，斜率为正的直线 $l$ 过点 $T (2, 0)$ ，交双曲线 $C$ 于点 $M$ ， $N$ (点 $M$ 在第一象限)，直线 $M A$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，直线 $N B$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，记 $△ P A T$ 面积为 $S_{1}$ ， $△ Q B T$ 面积为 $S_{2}$ ，求证： $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 为定值.

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19、如图，已知四边形 $A B C D$ 与 $E F A D$ 均为直角梯形，平面 $A B C D ⊥$ 平面EFAD， $A B ⊥ B C$ ， $A F ⊥ A D$ ， $M$ 为 $B F$ 的中点， $A F = A B = B C = 2 C D = 2 D E = 2$ .

(1)、证明： $C$ ， $E$ ， $F$ ， $M$ 四点共面；

(2)、求平面 $A M C$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值.

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20、设函数 $f (x) = (x + a) \ln x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 为增函数，求 $a$ 的取值范围.

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