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相关试卷

1、 $i$ 是虚数单位，若 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ ，则 $|z| =$ .

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2、某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）

A、直方图中x的值为0.035 B、在被抽取的学生中，成绩在区间 $[70, 80)$ 的学生数为30人 C、估计全校学生的平均成绩为83分 D、估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分

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3、若向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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4、计算 ${(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}} - {log}_{2} 8$ 的结果是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5、 $cos 17^{\circ} cos 43^{\circ} + sin 17^{\circ} sin 223^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6、下列函数中是奇函数的是

A、 $y = \log_{3} x$ B、 $y = - x^{2}$ C、 $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ D、 $y = 2 x$

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7、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{x}$ 的定义域为（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[- 2, 0) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- 2, 0) \cup (0, + \infty)$

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8、 $\sin 600 °$ 的值为（　　）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、已知集合 $A = \{1, 2, 4\}, B = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2, 4\}$ B、 $\{0, 1, 2, 4\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

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10、给定两个正整数 $m, n$ ，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[n, m]$ 阶帕德逼近定义为 $R (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}}{1 + b_{1} x + \dots + b_{m} x^{m}}$ ，且满足 $f (0) = R (0), f^{'} (0) = R^{'} (0), \dots, f^{(m + n)} (0) = R^{(m + n)} (0)$ （注： $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 为 $f^{'} (x)$ 的导函数， $f^{(3)} (x)$ 为 $f^{″} (x)$ 的导函数，以此类推）.已知函数 $f (x) = ln (x + 1)$ .

(1)、记 $R (x)$ 为 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[1, 1]$ 阶帕德逼近，判断函数 $g (x) = f (x) - R (x)$ 的单调性；

(2)、 $\forall x \geq 0, a (x + 1) f (x) \leq x^{2} + 2 x$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、求证： $\forall n \in N^{*} \cdot {(\frac{n! \cdot e^{n}}{n^{n} \cdot \sqrt{n}})}^{4} > {[\frac{(n + 1)! \cdot e^{n + 1}}{{(n + 1)}^{n + 1} \cdot \sqrt{n + 1}}]}^{4} > e^{3}$ （ $e$ 为自然对数的底数）.

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11、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n} a_{n + 1}^{2} - 2 (a_{n}^{2} - 1) a_{n + 1} - a_{n} = 0, n \in N^{*}$
（1）设 $b_{n} = a_{n} - \frac{1}{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式
（2）设 $S_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}, T_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}^{2}}$ ，求 $S_{n} + T_{n}$ ，并确定最小正整数 $n$ ，使得 $S_{n} + T_{n}$ 为整数．

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于 $M, N$ 两点.

(1)、若线段 $M N$ 的中点坐标为 $(\frac{5}{2}, 1)$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、当 $l$ 过点 $F$ 时，过点 $M, N$ 分别作直线 $l^{'} : x = \frac{3}{2}$ 的垂线，垂足分别为 $M^{'}, N^{'}$ ，且直线 $M N^{'}$ ， $M^{'} N$ 交于点 $P$ ，求 $△ M P N$ 面积的最小值.

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13、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = ∠ A B C = 90^{\circ}, A D = 2 A B = 2 B C = \frac{2}{3} C_{1} C = 2$ ，点 $M$ 的线段 $C_{1} D$ 上.

(1)、是否存在点 $M$ ，使得 $C_{1} D ⊥$ 平面 $A C M$ ？若存在求 $C_{1} M$ ；若不存在，请说明理由；

(2)、若平面 $C_{1} A C$ 里平面 $A C M$ 夹角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $\frac{C_{1} M}{C_{1} D}$ 的值.

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14、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 1, \frac{c}{b} + \frac{b}{c} = \frac{1 + b c}{b c}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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15、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积为6，三棱柱 $E F G - E_{1} F_{1} G_{1}$ 为正三棱柱，若 $\vec{A_{1} E} = λ \vec{A_{1}} \vec{A}$ ， $\vec{A_{1} F} = λ \vec{A_{1} B_{1}}, \vec{A_{1} G} = λ \vec{A_{1} D_{1}} (0 < λ < 1)$ ，且 $E_{1}, F_{1}, G_{1}$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上，则当三棱柱 $E F G - E_{1} F_{1} G_{1}$ 的体积取得最大值时， $λ =$ .

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16、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的表面积为 $\frac{11 π}{2}$ ，其中 $A B = 2, A A_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}, E$ 为线段 $C D$ 的中点，过点 $A$ 的平面 $α$ 与直线 $B E$ 垂直，点 $S$ 在平面 $α$ 与底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 形成的交线段上，且 $S A = S E$ ，则四面体 $S A B E$ 外接球的体积为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2} π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$

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17、如图，由函数 $y = e^{x} - e + 1$ 与 $y = ln (x + e - 1)$ 的部分图象可得一条封闭曲线 $Γ$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $Γ$ 关于直线 $y = x$ 对称 B、 $Γ$ 的弦长最大值大于 $2 \sqrt{2}$ C、直线 $x + y = t$ 被 $Γ$ 截得弦长的最大值为 $\sqrt{2} (e - 2)$ D、 $Γ$ 的面积大于 $πe - 2$

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18、已知 $a = \frac{ln 0.3}{ln 0.4}, b = \frac{1}{{log}_{1.5} e}, c = sin \frac{5 π}{24}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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19、为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为 $\frac{3}{5}$ ，被标记为二等品的概率为 $\frac{2}{5}$ ，被标记为一等品的零件有 $\frac{1}{10}$ 的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有 $\frac{1}{10}$ 的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（）

A、 $\frac{13}{14}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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20、已知函数 $f (x) = M sin (ω x + φ) (M > 0, ω > 0)$ 的部分图象如图所示，其中 $A (0, - \sqrt{2}), B (\frac{π}{3}, \sqrt{2})$ ，若将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后关于 $y$ 轴对称，则 $M =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、4 D、2

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