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相关试卷

1、已知 ${(1 - 2 x)}^{n}$ 的展开式中，二项式系数的和为 $64$ ，则它的二项展开式中，系数最大的是第项．

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2、从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次任取出2个球，则下列说法正确的是（）

A、事件“两球都不是白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立 B、事件“两球恰有一白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立 C、事件“两球至少有一个白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立 D、事件“两球都为红球”与事件“两球都为白球”是对立事件

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3、若 $a, b, c \in R$ ，则下列叙述中正确的是（）

A、“ $a b^{2} > c b^{2}$ ”的充要条件是“ $a > c$ ” B、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 C、“ $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 对 $x \in R$ 恒成立”的充要条件是“ $b^{2} - 4 a c \leq 0$ ” D、“ $a < 1$ ”是“方程 $x^{2} + x + a = 0$ 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

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4、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别是棱 $A A_{1}$ 和 $B B_{1}$ 的中点，则下列选项正确的是（）

A、 $\overset{⃑}{A C} ⊥ \overset{⃑}{D_{1} N}$ B、 $\overset{⃑}{M C} ⊥ \overset{⃑}{D_{1} N}$ C、 $\overset{⃑}{M C} \cdot (\overset{⃑}{A_{1} B_{1}} - \overset{⃑}{A_{1} D_{1}}) = 0$ D、 $\overset{⃑}{M C} = \overset{⃑}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{B_{1} B} + \overset{⃑}{A D}$

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5、已知文印室内有 $5$ 份待打印的文件自上而下摞在一起，秘书小王要在这 $5$ 份文件中再插入甲、乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，则不同的打印方式的种数为（）

A、 $15$ B、 $21$ C、 $28$ D、 $36$

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6、设 $a = {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}, b = {(\frac{4}{3})}^{\frac{1}{4}}, c = {(\frac{2}{3})}^{\frac{3}{4}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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7、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．若 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2}$ 的对称中心为 $(m, n)$ ，则 $f (- 2022) + f (- 2021) + f (- 2020) + f (2018) + f (2019) + f (2020) =$ ．

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8、命题 $p$ ： $\exists x_{0} \geq 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} < 0$ ，则命题 $p$ 的否定为.

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9、已知 $f (x) = (k^{2} + 2 k + 2) x^{2 k + 1} + m - 3$ 是幂函数，则 $f (m) =$ （）

A、3 B、 $\frac{2}{3}$ C、6 D、 $\frac{1}{3}$

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、如图，过点 $O$ 的直线 $l$ （异于 $y$ 轴）与 $C$ 交于点P，Q，过左焦点 $F$ 作直线PQ的垂线交圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 于点M，N，垂足为 $T$ .

①若点 $A (- 4, 0)$ ，设直线AM，AN的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；
②记 $△ P T N, △ Q T M$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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11、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + k x - 2 y + k^{2} = 0$ ， $k \in R$ ，则（）

A、当 $k = 0$ 时， $C$ 的面积是 $π$ B、实数 $k$ 的取值范围是 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ C、点 $(0, 1)$ 在 $C$ 内 D、当 $C$ 的周长最大时，圆心坐标是 $(0, - 1)$

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12、圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 的圆心坐标为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(4, - 2)$

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13、三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数 $y = A x^{2} + \frac{B}{x}$ $(A > 0, B > 0)$ 的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数 $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ 的图象，所以也称 $f (x)$ 的图象为牛顿三叉戟曲线.

(1)、判断 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、已知两个不相等的正数m，n满足： $f (m) = f (n)$ ，求证： $m n < 1$ ；

(3)、是否存在实数a，b，使得 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域是 $[3 a, 3 b]$ ？若存在，求出所有 $a, b$ 的值；若不存在，说明理由.

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14、某市轨道交通 $S 1$ 线是全国第一条制式市域铁路，运营五年来累计客运量已突破5500万．经市场调研测算， $S 1$ 线列车载客量 $p (t)$ 与发车间隔 $t$ （单位：分钟）有关．当 $4 \leq t < 16$ 时，载客量为 $k {(16 - t)}^{2} + 50 t$ （ $k$ 为常数），且发车间隔 $t = 4$ 时的载客量为344人；当 $16 \leq t \leq 20$ 时列车为满载状态，载客量为800人．

(1)、为响应低碳出行，要求载客量达到满载的一半及以上，列车才发车，则列车发车间隔至少为多少分钟？

(2)、已知甲、乙两站间列车票价为2元，发一趟车的固定支出为560元，当发车间隔为多少分钟时， $S 1$ 线列车在运营期间每分钟的收益最大，并求出最大值．

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15、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} sin x cos (x + \frac{π}{4}) + 1$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ ；

(2)、把 $y = f (x)$ 图象上的所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ ， $x \in [\frac{π}{6}, \frac{3 π}{8}]$ 的值域.

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16、已知函数 $f (x) = {log}_{a} (x + 1) + {log}_{a} (1 - x)$ ，（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、若 $f (\frac{1}{2}) < 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ .

(1)、求 $sin α + tan α$ 的值；

(2)、若角 $β$ 满足 $sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ，且 $α + β \in (π, \frac{3 π}{2})$ ，求 $\sin β$ 的值.

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18、在 $△ A B C$ 中， $\frac{cos A}{cos B} = \frac{2}{1 - tan A tan C}$ ，则 $∠ C =$ .

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19、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上递增，且 $f (1) = 2$ ，则满足 $- 2 \leq f (x) \leq 0$ 的 $x$ 的取值范围是.

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20、计算： $8^{- \frac{2}{3}} =$ .

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