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相关试卷

1、已知角α的终边上有一点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} + α)$ =（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2、已知 $F (2, 0)$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点， $P (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 是 $E$ 上一点.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、记 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A, B$ 两点，若 $O A ⊥ O B$ ，求 $|A B|$ 的值.

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3、为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108

(1)、求数学成绩 $y$ 与学习时间 $x$ 的相关系数（精确到0.001）；

(2)、请用相关系数说明该组数据中 $y$ 与 $x$ 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 22820, \sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 435, \sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 38999, {107.4}^{2} \approx 11540$ ， $x_{i}$ 的方差为200）；

(3)、基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到 $2 \times 2$ 列联表（表二）.依据表中数据及小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
附：方差： $S^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$ 相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$
回归方程 $\hat{y} = b x + a$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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4、已知 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x cos ω x - {cos}^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，

(1)、求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2}$ 在 $(0, m)$ 上恰有 $2$ 个极值点和 $2$ 个零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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5、已知四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A$ ⊥面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $S A = A B$ ， $E$ 为 $S D$ 的中点．

(1)、求证： $A E ⊥$ 面 $S C D$ ；

(2)、求直线 $B S$ 与面 $S C D$ 所成的角．

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a + b + c = 8$

(1)、若 $b = 2, c = 3$ ，求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $sin C + sin B = 3 sin A$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $S = \frac{9}{2} sin A$ ，求 $b$ 和 $c$ 的值．

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7、已知在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥ B D, A C ⊥ C D, A B = 8, B D = 6$ ，点 $P$ 为三棱锥 $A - B C D$ 外接球上一点，则三棱锥 $P - A B D$ 的体积最大为．

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8、一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件 $A_{i} =$ “第 $i$ 次命中目标” $(i = 1, 2), P (A_{1}) = \frac{1}{4}$ ， $P (A_{i + 1} ∣ A_{i}) = 2 P (A_{i}), P (A_{i + 1} ∣ \bar{A_{i}}) = \frac{1}{4} (i = 1)$ ，则 $P (A_{2}) =$ ．

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9、已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥 $A - B C D$ 则在折叠过程中，不可能出现（）

A、 $A B ⊥ C D$ B、 $A C ⊥ B D$ C、三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、平面 $A B D ⊥$ 平面BCD

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10、已知 $sin (θ - \frac{π}{12}) = \frac{3}{4}$ ，则 $sin (2 θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{16}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{7}{16}$

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11、专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现注意力指数 $p$ 与听课时间 $t$ （单位： $min$ ）之间的关系满足如图所示的曲线．当 $t \in (0, 14]$ 时，曲线是二次函数图象（其对称轴为 $x = 12$ ）的一部分，当 $t \in (14, 40]$ 时，曲线是函数 $y = \log_{a} (t - 5) + 83 (0 < a < 1)$ 图象的一部分．专家认为，当注意力指数 $p$ 大于或等于80时定义为听课效果最佳．

(1)、试求 $p = f (t)$ 的函数关系式．

(2)、若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理由．

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12、函数 $y = \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x}$ 的定义域为（）

A、 $\{x |x \geq - 1$ 且 $x \neq 0\}$ B、 $\{x |x \geq - 1\}$ C、 $\{x |x > - 1$ 且 $x \neq 0\}$ D、 $\{x |x > - 1\}$

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13、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $B = \{x \in N |\frac{6}{x + 1} \in N\}$ 则满足 $B \subseteq C$  $A$ 的集合 $C$ 的个数为．

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14、为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.

(1)、估计这100名同学体能成绩分数的平均分和众数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差.

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15、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚硬币反面向上”，事件 $B =$ “第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 为互斥事件 B、 $P (A) = P (B) = \frac{1}{4}$ C、 $A$ 与 $B$ 为相互独立事件 D、 $A$ 与 $B$ 互为对立事件

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16、已知 $\vec{a} = (- 2, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数λ的值为（）

A、2 B、 $- \frac{14}{3}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $- 2$

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17、已知函数 $f (x) = x |x - a| + 2 x$

(1)、当 $a = 1$ 时，画出函数 $f (x)$ 的图象，根据图象写出单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

(3)、若当 $x \in [a, + \infty)$ ，不等式 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的范围；

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18、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- 1, 1)$ 上的奇函数，当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) = 2^{x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的值域；

(3)、若不等式 $f (2 a) + f (1 - a) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - 1}{4^{x} + 1}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域和值域；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的奇偶性.

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20、围建一个面积为360 $m^{2}$ 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

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	没有进步	有进步	合计
参与周末在校自主学习	35	130	165
未参与周末不在校自主学习	25	30	55
合计	60	160	220

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

编号	1	2	3	4	5
学习时间x	30	40	50	60	70
数学成绩y	65	78	85	99	108