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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2)$ 为偶函数， $f (x + 3)$ 为奇函数；当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = k \cdot 2^{x} + b (k, b \in R)$ ．若 $f (2024) = 2$ ，则 $\sum_{i = 0}^{2024} (2 i + 1) f (\frac{2 i + 1}{2}) =$ ．

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2、若复数z是关于x的方程 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 的一个根，则复数z可以是．（写出满足条件的一个即可）

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3、已知随机变量X服从二项分布 $X ~ B (8, \frac{1}{2})$ ，且随机变量Y服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ．若 $P (Y \geq E (X)) = 0.2$ ，则 $P (Y \geq 0) =$ ．

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4、如图，已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内运动（包含边界）．若直线AP与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $\sqrt{6}$ ，则下列正确的为（）

A、存在点P和点 $Q \in B_{1} C_{1}$ ，使得 $A P / / A_{1} Q$ B、在此三棱台中放置一个球体，其体积最大为 $\frac{\sqrt{6} π}{8}$ C、线段CP长度的取值范围为 $[\sqrt{3} - 1, \sqrt{7}]$ D、所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为 $\frac{\sqrt{7} π}{3}$

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5、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6}) \cos (ω x + \frac{π}{6})$ ．若函数 $f (x)$ 图象的两条相邻对称轴的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的最大值为2 B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 得到函数 $g (x) = sin 2 x$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{5 π}{12} + k π, \frac{π}{12} + k π] (k \in Z)$

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6、下列式子恒成立的有（）

A、 $2^{- 0.2} > 2^{- 2}$ B、 $2^{- 0.3} > \ln 0.3$ C、 $\log_{4} 8 > \tan \frac{π}{3}$ D、 $\log_{0.5} 3 = \log_{2} \frac{1}{3}$

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7、已知平面向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 满足 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}| = \vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2$ ，且 $⟨\vec{O A}, \vec{O C}⟩ + ⟨\vec{O B}, \vec{O C}⟩ = \frac{π}{3}$ .若 $x, y \in R$ ，则 $|x \vec{O A} - y \vec{O B}| + |x \vec{O A} - \vec{O C}| + |y \vec{O B} - \vec{O C}|$ 的最小值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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8、如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为 $1 - 8$ 号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（）

A、68种 B、136种 C、272种 D、544种

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9、若函数 $f (x) = 24 a x^{3} + 4 x^{2} - x$ 在区间 $(- 1, 1)$ 恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $\{- \frac{1}{6}\} \cup (- \frac{1}{8}, \frac{5}{24})$ B、 $\{- \frac{1}{6}\} \cup [- \frac{1}{8}, \frac{5}{24})$ C、 $\{- \frac{1}{6}\} \cup (- \frac{1}{8}, \frac{5}{24}]$ D、 $\{- \frac{1}{6}\} \cup [- \frac{1}{8}, \frac{5}{24}]$

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10、已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于 $0.4$ 的为（）

A、摸到黑球 B、摸到红球 C、在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D、在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球

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11、若 $2^{27} + a$ 既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（）

A、6 B、10 C、55 D、63

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12、如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线 $l_{1}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{1} x + {\hat{a}}_{1}$ ，相关系数为 $r_{1}$ ，决定系数为 $R_{1}^{2}$ ．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线 $l_{2}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{2} x + {\hat{a}}_{2}$ ，相关系数为 $r_{2}$ ，决定系数为 $R_{2}^{2}$ ．则下列结论一定正确的是（）

A、 $r_{1} > r_{2}$ B、 $R_{1}^{2} > R_{2}^{2}$ C、 ${\hat{b}}_{1} < {\hat{b}}_{2}$ D、 $r_{1} > 0$ ， $r_{2} < 0$

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13、若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、若集合 $A = \{x ∣ y = \lg (4 - x^{2})\}$ ， $U = R$ ，则下列阴影部分可以表示 $∁_{U} A$ 的为（）

A、 B、 C、 D、

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15、在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加 $C$ 项目，那么不同的志愿者分配方案共有种（用数字表示）.

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16、参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为 $1$ 个单位长度，在球的右上方有一个灯泡 $P$ （当成质点），灯泡与桌面的距离为 $4$ 个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为 $A$ ，影子椭圆的右顶点到 $A$ 点的距离为 $3$ 个单位长度，则这个影子椭圆的离心率 $e =$ .

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17、已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1 (x y \neq 0)$ 上的动点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，若 $M$ 是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线上的一点，且 $\overset{⃑}{F_{1} M} \cdot \overset{⃑}{M P} = 0$ ，则 $| \overset{⃑}{O M} |$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, \sqrt{3})$ C、 $(0, 4)$ D、 $(2, 2 \sqrt{3})$

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18、对于函数 $y = f (x), x \in D$ ，若存在 $x_{0} \in D$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个不动点．已知函数 $f (x) = {log}_{2} [a (4^{x} + 4^{- x}) + 2^{- x} + 1 - 2 a], a \geq 0$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 的定义域为 $R$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上仅有一个不动点，求实数a的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上有两个不动点，求实数a的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = 2 sin ω x sin (ω x + \frac{π}{3}) + cos 2 ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $ω$ 的值及函数 $f (x)$ 图像的对称中心；

(2)、设 $g (x) = b (sin x + cos x) - \sin x cos x$ ，若 $\forall x_{1} \in [0, \frac{π}{4}], \exists x_{2} \in [- \frac{π}{6}, 0],$ 使得 $g (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，求实数b的取值范围．

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20、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 2, 2]$ 上的偶函数， $f (\frac{1}{2}) = \sqrt{2}$ ，当 $- 2 \leq x \leq 0$ 时， $f (x) = cos (\frac{π x}{2}) + a^{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式： $f (2 x - 1) < f (x - 3)$ ．

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