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相关试卷

1、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = 8$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 48$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2、若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{9}{10}$ D、 $\frac{13}{20}$

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3、若复数 $z$ 满足 $i z = 1 - i$ ，则 $z$ 的实部为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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4、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 6 \leq 0\}, B = \{x ∣ e^{x} \leq 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 2, 0]$ B、 $[- 2, 3]$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 3]$

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5、已知圆心为C的圆经过点 $A (1, 1)$ 和 $B (2, - 2)$ ，且圆心C在直线 $l : x - y + 1 = 0$ 上．

(1)、求圆心为C的圆的一般方程；

(2)、已知 $P (2, 1)$ ， Q为圆C上的点，求 $|P Q|$ 的最大值和最小值．

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6、已知函数 $f (x) = \log_{2} (\sqrt{1 + x^{2}} + x) - \frac{2}{2^{x} + 1} + 2, (x \in R)$ ，若 $\exists θ \in [0, \frac{π}{3}]$ ，使关于 $θ$ 的不等式 $f (2 \sin θ \cos θ) + f (4 - 2 \sin θ - 2 \cos θ - m) < 2$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

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7、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4), \vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标为.

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8、已知点 $P (2, 3, - 1)$ 关于坐标平面 $O x y$ 的对称点为 $P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 关于坐标平面 $O y z$ 的对称点为 $P_{2}$ ，点 $P_{2}$ 关于 $z$ 轴的对称点为 $P_{3}$ ，则 $|P P_{3}| =$ ．

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9、已知点 $A$ 是圆 $P : {(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 上任意一点，点 $Q$ 是直线 $x + y - 5 = 0$ 与 $x$ 轴的交点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、以线段 $A Q$ 为直径的圆周长最小值为 $8 π$ B、 $△ A P Q$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$ C、以线段 $A Q$ 为直径的圆不可能过坐标原点 $O$ D、 $\vec{Q O} \cdot \vec{Q A}$ 的最大值为25

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10、若圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，且圆心坐标为 $(1, 2)$ ，则圆 $C$ 的方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 1 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 3 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 3 = 0$

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11、两条直线 $l_{1} : \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ 和 $l_{2} : \frac{x}{b} - \frac{y}{a} = 1$ 在同一直角坐标系中的图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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12、方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y = a$ 表示圆，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[- 2, + \infty)$ D、 $(- 2, + \infty)$

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13、已知点 $A (4, 2 \sqrt{3}), B (1, \sqrt{3})$ ，若向量 $\vec{A B}$ 是直线 $l$ 的方向向量，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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14、食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件 $D_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，3）表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（）

A、 $P (A | D_{1}) = \frac{1}{5}$ B、 $P (B) = \frac{2}{15}$ C、 $P (C) = \frac{3}{4}$ D、 $P (C | D_{3}) = 0$

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15、定义二元函数 $f (m, n) (m, n \in R)$ ，且同时满足：① $f (m, 1) = sin m$ ；② $f (m, n + 1) = f (m, n) + \frac{sin (2 m n - m)}{2 n + 1}$ 两个条件．

(1)、求 $f (\frac{π}{2}, 2)$ 的值；

(2)、当 $0 < m < π$ 时，比较 $f (m, n) (n \in N^{*})$ 和0的大小；

(3)、若 $x = 0$ 为 $g (x) = ln (1 + x) - f (x, 2) + \frac{sin x}{3} + a x^{2}$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．
附：参考公式：
$sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)]$ $cos α sin β = \frac{1}{2} [sin (α + β) - sin (α - β)]$
$cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α + β) + cos (α - β)]$ $sin α sin β = - \frac{1}{2} [cos (α + β) - cos (α - β)]$

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16、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2 A A_{1} = 2, E$ ， $F$ 分别为 $A B, C_{1} D_{1}$ 的中点， $P$ 是棱 $B C$ 上的动点（包含端点）．

(1)、请说明当点 $P$ 在何处时， $A_{1}, E, F, P$ 四点在同一平面内；

(2)、当点 $P$ 满足 $4 \vec{B P} = 3 \vec{B C}$ 时，求三棱锥 $P - A_{1} E F$ 的体积 $V_{P - A_{1} E F}$ ；

(3)、设二面角 $A_{1} - E F - P$ 的大小为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的最大值．

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17、动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (1, 0)$ 的距离和点 $M$ 到定直线 $l : x = 4$ 的距离的比是常数 $\frac{1}{2}$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $m : k x - y - k = 0$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，
（ⅰ）求 $|A B|$ 的取值范围；
（ⅱ）是否存在实数 $k$ ，使得点 $N (\frac{1}{7}, 0)$ 在线段 $A B$ 的中垂线上？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由．

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18、某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表：
生产批次
产品检测结果
合计
次品
合格品
第一批次
10
190
200
第二批次
40
260
300
合计
50
450
500

(1)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？

(2)、用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品．
（ⅰ）求取出的产品是次品的概率；
（ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$α$
0.15
0.10
0.05
0.010
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
6.635

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19、已知在各项为正的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{2} + 6$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{n}{2} (a_{n + 1} - a_{n})$ ， $n \in N^{*}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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20、已知正四面体ABCD的棱长为 $\sqrt{2}$ ，其顶点都在球O的球面上，点M在棱CD上，且 $\vec{C M} = \frac{3}{4} \vec{C D}$ ，则过点M的平面截球O所得截面的面积最小值为．

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生产批次	产品检测结果		合计
生产批次	次品	合格品	合计
第一批次	10	190	200
第二批次	40	260	300
合计	50	450	500

$α$	0.15	0.10	0.05	0.010
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	6.635