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相关试卷

1、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数， $f (2 x + 2)$ 的图象关于 $x = - \frac{1}{2}$ 对称， $f (1) = 1$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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2、已知实数 $a, b, c$ ，满足 ${log}_{3} a = {(\frac{1}{5})}^{b} = 3^{c}$ ，则下列关系不可能成立的是（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + \frac{5}{2} a, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{array}$ 是定义在 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[1, 2)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(0, 1]$

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4、著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 $θ_{1} ° C$ ，空气温度为 $θ_{0} ° C$ ，则 $t$ 分钟后物体的温度 $θ$ （单位： $° C$ )满足： $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ .若常数 $k = 0.05$ ，空气温度为 $30 ° C$ ，某物体的温度从 $110 ° C$ 下降到 $40 ° C$ 以下，至少大约需要的时间为（）（参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ ）

A、40分钟 B、41分钟 C、42分钟 D、43分钟

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5、已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 3}, B = {x | x \leq 0, x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $\{0, 1, 2, 3\}$ C、 $[0, 3]$ D、 $\{- 1, 0\}$

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6、已知函数 $f (x) = a e^{x} - sin x - a$ ．（注： $e = 2.718281 \cdot \cdot \cdot$ 是自然对数的底数）．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 内有唯一的极值点 $x_{1}$ ．
①求实数 $a$ 的取值范围；
②求证： $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 内有唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} < 2 x_{1}$ ．

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7、已知函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的偶函数和奇函数，且 $f (x) + g (x) = 2 \cdot 3^{x}$ .

(1)、证明： $f (x) - g (- x) = 2 \cdot 3^{- x}$ ，并求函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ 的解析式；

(2)、直接说明函数 $g (x)$ 的单调性，并解关于 $x$ 不等式： $g (x^{2} + 4 x) + g (x - 6) > 0$ ；

(3)、设 $p (x) = \frac{3^{x} - 2}{3^{x} + 2}$ ， $h (x) = f (2 x) - 2 g (x) + 2 m - 3$ ，对于 $\forall x_{1} \in R$ ， $\exists x_{2} \in [0, + \infty)$ ，使得 $p (x_{1}) \geq h (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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8、某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）．
车型
低收入群体（ $<$ 20万/年）
中收入群体（20万/年-50万/年）
高收入群体（ $>$ 50万/年）

愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
EV
70
30
70
50
40
40
PHEV
20
80
60
60
60
20
假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率．

(1)、从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率 $p$ ；

(2)、从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记 $X$ 为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、假设该市 $C$ 社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为 $3 : 1 : 1$ ，从 $C$ 社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为 $p_{A}$ ，试比较 $p_{A}$ 与 $p$ 的大小．

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9、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，且 $\frac{c}{b} = \frac{\sin^{2} C}{\cos C \cos B + 2 \cos^{2} A}$ ．

(1)、求A；

(2)、设D为 $A B$ 的中点，若 $C D = B C$ ，且 $b + c = 10$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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10、已知函数 $f (x) = (a x + 2) e^{x} - x - 2$ ，则（）

A、当 $a = 0$ ， $x_{1} > x_{2}$ 时， $f (x_{1}) - f (x_{2}) > x_{2} - x_{1}$ B、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 有最值 C、当 $- 2 < a \leq - 1$ 时， $f (x)$ 为减函数 D、当 $f (x) < 0$ 仅有一个整数解时， $a \in [0, 1]$

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11、已知函数 $f (x) = 4 \cos^{2} x - 2 \sin^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x) = 3 \cos 2 x$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上的值域为 $(- \frac{1}{2}, 4]$

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12、函数 $f (x) = \frac{\sin x - x}{\cos x - x^{2}}$ 在 $[- π, π]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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13、某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（）

A、18 B、21 C、36 D、42

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14、已知函数 $f (x) = sin x - \sqrt{3} cos x$ ，如图所示的函数曲线所对应的函数解析式可以为（）

A、 $y = f (\frac{1}{2} x + \frac{2π}{3})$ B、 $y = f (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$ C、 $y = f (2 x + \frac{2π}{3})$ D、 $y = f (2 x - \frac{π}{3})$

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15、 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（）

A、8 B、12 C、15 D、 $- 20$

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16、要得到 $y = \lg x - 1$ 的图象，只需将函数 $y = \lg x$ 的图象上所有点的横坐标（）

A、缩小到原来的 $\frac{1}{10}$ 倍（纵坐标不变） B、扩大到原来的10倍（纵坐标不变） C、向左移动1个单位（纵坐标不变） D、向右移动1个单位（纵坐标不变）

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17、“ $\exists x \in [- 2, 1]$ ， $x^{2} - 2 a > 0$ ”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $a \geq 3$ C、 $a \leq 2$ D、 $a \geq 1$

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18、样本数据2，6，5，13，4，8的第60百分位数为（）

A、2 B、4 C、6 D、13

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19、已知 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边，且 $2 a \sin A = (2 b + c) \sin B + (2 c + b) \sin C$ ，

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、设点 $D$ 为 $B C$ 上一点， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，且 $b = 3, c = 6$ ，求 $A D$ 的长度．

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20、在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为 $A, B, C, D$ ，其中 $A$ 对阵其他三个队伍时获胜的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，最初分组时， $A, B$ 同组， $C, D$ 同组.

(1)、若 $p = \frac{3}{4}$ ，在淘汰赛赛制下， $A, C$ 获得冠军的概率分别为多少？

(2)、分别计算两种赛制下 $A$ 获得冠军的概率（用 $p$ 表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？

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车型	低收入群体（ $<$ 20万/年）		中收入群体（20万/年-50万/年）		高收入群体（ $>$ 50万/年）
	愿意	不愿意	愿意	不愿意	愿意	不愿意
EV	70	30	70	50	40	40
PHEV	20	80	60	60	60	20