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相关试卷

1、某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（ $40 \leq x \leq 100$ ）的整数分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ……， $[90, 100]$ ，并作出如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、规定 $x \in [60, 80)$ 为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率；

(3)、已知样本数据落在 $[50, 60)$ 的平均数是54，方差是6；落在 $[60, 70)$ 的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数 $\bar{x}$ 和总方差 $s^{2}$ .
注：第一部分有m个数，平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，第二部分有n个数，平均数为 $\bar{y}$ ，方差为 $t^{2}$ ，记样本均值为 $\bar{a}$ ，样本方差为 $b^{2}$ ，则 $\bar{a} = \frac{m \bar{x} + n \bar{y}}{m + n}$ ， $b^{2} = \frac{m [s^{2} + {(\bar{x} - \bar{a})}^{2}] + n [t^{2} + {(\bar{y} - \bar{a})}^{2}]}{m + n}$ .

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2、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形， $S D$ 垂直于底面 $A B C D$ ， $E$ 为 $S C$ 的中点， $S D = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 中点．

(1)、求证： $S A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、若 $A B = S D = 2$ ，求直线 $E O$ 与平面 $B C D$ 所成的角．

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3、已知向量 $\vec{m} = (sin x, cos x)$ ， $\vec{n} = (cos x, - \sqrt{3} cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(3)、若 $g (x) = f (ω x) + \frac{\sqrt{3}}{2} (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ ，求实数 $ω$ 的取值范围.

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4、某次期中考试10位同学的数学成绩数据如下： $57, 57, 65, 70, 78, 80, 87, 89, 90, 92$ .则这组数据的第75百分位数为.

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5、设 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 表示三个不同的平面， $m$ 、 $n$ 表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（）

A、若 $m / / α$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ B、若 $m / / α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ β$ ， $m ⊄ α$ ，则 $m / / α$ D、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α \cap β = m$ ，则 $m ⊥ γ$

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6、已知球 $O$ 是正三棱锥 $P - A B C$ 的外接球， $△ A B C$ 是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形， $P C = \sqrt{5}$ ， $E$ 为 $A B$ 边上的一点，且 $P E$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为 $\frac{8 \sqrt{7}}{7}$ .若过点 $E$ 的球 $O$ 的截面面积为 $\frac{13 π}{16}$ ，则 $O E$ 与该截面所成的角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7、在 $△ A B C$ 中，若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b$ ，且 $\sin C = 2 \sin A \cos B$ ，那么 $△ A B C$ 一定是（）

A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等边三角形

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8、已知 $\cos (α + \frac{π}{3}) + \cos α = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{15}{16}$ B、 $\frac{15}{16}$ C、 $- \frac{7}{8}$ D、 $\frac{7}{8}$

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9、复数 $z = \frac{4 - 3 i}{1 + 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 3) x + 3$ ， $x \in [a^{2} - 2, a]$ 是偶函数，则a+b=.

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11、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为棱 $A A_{1}$ 的中点，O为BD的中点．

(1)、证明： $A_{1} C //$ 平面 $M B D$ ；

(2)、求点C到平面MBD的距离；

(3)、证明：平面 $M B D ⊥$ 平面 $O C_{1} D_{1}$ ．

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12、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边， $\sqrt{3} a sin C + a cos C = b + c$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求a．

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13、某厂生产的12件产品中，有10件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别．从这12件产品中任意抽检2件．

(1)、求2件都是合格品的概率；

(2)、求1件是合格品、1件是不合格品的概率；

(3)、若抽检的2件产品都是不合格品，则这批产品将被退货，求这批产品没有被退货的概率．

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14、已知 $m \in R$ ，函数 $f (x) = {cos}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x - {sin}^{2} x + m$ 的最小值为0．

(1)、求常数m的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的图象的对称中心．

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15、在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{A B} \cdot (\vec{A C} - \vec{C B}) = 5 \vec{B C} \cdot (\vec{B A} - \vec{A C})$ ，则 $cos B$ 的最小值为．

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16、一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为60cm和40cm，深度为75cm，则该油槽的容积为L．

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17、数据2，6，8，3，3，4，6，8的上四分位数为．

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18、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4, B C = 4 \sqrt{3}$ ， $D, E$ 分别是 $A B, A C$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿着DE翻折，使点A运动到点P处，得到四棱锥 $P - B C E D$ ，则（）

A、对任意的点P，始终有 $B C ⊥ A P$ B、存在某个点P的位置，满足平面 $P D E ⊥$ 平面 $P B C$ C、对任意的点P，始终有平面 $P D E$ 与平面 $P B C$ 的交线 $l // B C$ D、当二面角 $P - D E - B$ 为 $60 °$ 时，四棱锥 $P - B C E D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（）

A、 $P (A) = \frac{1}{6}$ B、 $P (B) + P (C) = P (D)$ C、事件A，B为相互独立事件 D、事件A，B为互斥事件

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20、设α，β，γ表示三个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（）

A、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ B、若 $α ⊥ γ$ ， $α / / β$ ，则 $β ⊥ γ$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m / / n$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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