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相关试卷

1、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2, A C = B C$ ， $l$ 为平面 $A B C$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 的交线， $P$ 为直线 $l$ 上一点．

(1)、若 $A C = 2$ ，求 $△ P A C$ 的面积；

(2)、若平面 $A A_{1} B$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $A C$ ．

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2、已知地物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $l : y = x + t$ ．当 $t = \frac{1}{2}$ 时， $l$ 与 $C$ 有且仅有一个交点．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 交于两个不同的点 $A, B$ ，设 $A B$ 的中点为 $M$ ，过点 $M$ 平行于 $x$ 轴的直线与 $C$ 交于点 $N$ ，求 $\frac{{|A B|}^{2}}{|M N|}$ ．

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3、在 $△ A B C$ 中，已知内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $D$ 为线段 $B C$ 上一点， $A D = 1$ ．

(1)、若 $D$ 为 $B C$ 的中点，且 $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $A C = 2 A B, \vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，且 $∠ B A D = \frac{π}{6}$ ，求 $c$ ．

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4、如图，设 $O x$ 、 $O y$ 是平而内相交成 $60^{\circ}$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点 $P$ ，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则记 $P (x, y)$ ， $d (\vec{O P}) = |x| + |y|$ ．已知平面内两点 $M (x_{1}, y_{1})$ 、 $N (x_{2}, y_{2})$ ，其中 $d (\vec{O N}) = 2$ ，则点 $N$ 的轨迹围成的图形面积为；若 $d (\vec{O N}) = 2 d (\vec{O M}) = 2$ ，则 $\frac{d (\vec{O M})}{|\vec{O M}|}$ 的最大值为．

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5、若 $x = \frac{1}{3}$ 是函数 $f (x) = sinπ x + a cosπ x$ 的一个极大值点，则 $f (\sqrt{3} a) =$ ．

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6、已知函数 $f (x)$ 满足： $\forall x, y \in R, f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (1) \neq 0$ ，那么（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (1) = 2$ C、 $f (- x) = f (x)$ D、若 $f (π) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (x + 2 π) = f (x)$

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7、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ D A B = 60 °$ ，将 $△ B C D$ 沿对角线 $B D$ 向上折起，得到平面 $B D C^{'}$ ，二面角 $C^{'} - B D - A$ 的大小为 $φ$ ，则（）

A、当 $φ = 90 °$ 时 $A B ⊥ C^{'} D$ B、当 $φ = 90 °$ 时，二面角 $B - A C^{'} - D$ 是锐角 C、当 $\cos φ = \frac{1}{3}$ 时，四面体 $A B C^{'} D$ 各条棱长相等 D、当 $\cos φ = \frac{1}{3}$ 时，四面体 $A B C^{'} D$ 的外接球表面积为 $6 π$

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8、已知随机变量 $X$ 的分布列如下，则（）
$X$
1
2
3
4
$P$
$4 p$
$3 p$
$2 p$
$p$

A、 $p = 0.2$ B、 $P (X < 3) = 0.7$ C、 $E (X) = \frac{5}{2}$ D、 $D (X) = 1$

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9、已知正实数 $a, b, c$ ，且 $a > b$ ，若 $2^{a} \cdot 3^{a - b} + 3^{c - b} = 1 + 2^{b}$ ，则（）

A、 $b > c, 2 b \geq a + c$ B、 $b < c, 2 b \leq a + c$ C、 $b > c, 2 b \leq a + c$ D、 $b < c, 2 b \geq a + c$

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $M$ 是 $C$ 上一点， $P$ 、 $Q$ 分别是 $M F_{1}$ 、 $M F_{2}$ 的中点， $O$ 为坐标原点，若 ${|O P|}^{2} + {|O Q|}^{2} = a^{2} - b^{2}$ ，且四边形 $O P M Q$ 的面积为 $\frac{5}{2}$ ， $C$ 的短轴长为（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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11、函数 $f (x) = x (x^{2} - 2) + 1$ ，若 $f (a) = - 1$ ．则 $f (- a) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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12、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，若 $a_{4} + a_{5} = 8 (a_{1} + a_{2})$ ，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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13、从小到大排列的一组数据 $1, 2, 4, x, 7, 9$ 的中位数等于平均数，则 $x =$ （）

A、 $4.5$ B、5 C、 $5.5$ D、6

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14、已知复数 $z = 2 - b i$ ，若 $z^{2}$ 为纯虚数，则 $b =$ （）

A、0 B、 $\pm 1$ C、 $\pm 2$ D、 $\pm 3$

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15、已知集合 $A = \{x |1 \leq x \leq 10\}, B = \{x |x = 3 k - 1, k \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ B、 $\{2, 5, 8\}$ C、 $\{1, 4, 7, 10\}$ D、 $\{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 2$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前50项和为（）

A、24 B、26 C、 $\frac{53}{2}$ D、 $\frac{55}{2}$

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17、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2^{n}} (n \in N^{*})$ .
（1）设 $b_{n} = 2^{n - 1} a_{n} (n \in N^{*})$ ，求证数列 ${b_{n}}$ 为等差数列；
（2）求 $S_{n}$ ；
（3）若对任意 $n \in N^{*}$ ，不等式 $S_{n} \geq 4 - 2 λ - \frac{5}{2^{n - 1}}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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18、现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则（）

A、没有空盒子的方法共有24种 B、可以有空盒子的方法共有128种 C、恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D、没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种

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19、如图所示为函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的部分图象，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{2}, π]$ 上单调递增 C、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位可以得到 $g (x) = \cos 2 x$ 的图象 D、方程 $f (x) = 0$ 在 $(0, π)$ 上有三个根

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20、对于任意两正数u， $v (u < v)$ ，记区间 $[u, v]$ 上曲线 $y = \frac{1}{x}$ 下的曲边梯形 $($ 由直线 $x = u$ ， $x = v$ ， $y = 0$ 和曲线 $y = \frac{1}{x}$ 所围成的封闭图形 $)$ 面积为 $L (u, v)$ ，并约定 $L (u, u) = 0$ 和 $L (v, u) = - L (u, v)$ ，已知 $L (1, x) = l n x .$

(1)、求 $L (1, 2)$ ， $L (3, 6)$ ， $L (12, 6);$

(2)、对正数k和任意两个正数u，v，猜想 $L (u, v)$ 与 $L (k u, k v)$ 的大小关系，并证明；

(3)、（i）试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数x，恒有 $\frac{1}{x + 1} < l n (1 + \frac{1}{x}) < \frac{1}{x};$
（ii）若 $n \in N^{*}$ ，试说明：当 $n \to + \infty$ 时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \to + \infty$ .

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$X$	1	2	3	4
$P$	$4 p$	$3 p$	$2 p$	$p$