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相关试卷

1、如图，圆E的圆心为 $E (- \sqrt{3} ， 0)$ ，半径为4， $F (\sqrt{3} ， 0)$ 是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线 $C .$

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线 $x = 4$ 于点T，连结AT交曲线C于点 $Q .$ 直线AP、AQ的斜率分别为 $k_{A P}$ 、 $k_{A Q} .$
（i）求证： $k_{A P} \cdot k_{A Q}$ 为定值；
（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.

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2、如图所示的圆台 $O_{1} O_{2}$ ，在轴截面 $A B C D$ 中， $A B = B C = A D = \frac{1}{2} C D, C D = 4$ ，则（）

A、该圆台的高为1 B、该圆台轴截面面积为 $3 \sqrt{3}$ C、该圆台的体积为 $\frac{7 \sqrt{3} π}{3}$ D、一只小虫从点 $C$ 沿着该圆台的侧面爬行到 $A D$ 的中点，所经过的最短路程为5

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3、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在 $x \in D$ ，使得 $f (x) = - x$ 成立，则称 $x$ 为 $f (x)$ 的一个“准不动点”.已知函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} + 2) .$

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的“准不动点”：

(2)、若 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的一个“准不动点”，且 $x_{0} \in [1, 2]$ ，求实数 $a$ 的取值范围：

(3)、设函数 $g (x) = 2^{x},$ 若 $\forall x_{1} \in [0, 1], \exists x_{2} \in [0, 1]$ 使得 $|f (x_{1}) + g (x_{2})| \leq 1$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\cos A = \frac{b - c}{2 c}$ ．

(1)、证明： $A = 2 C$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围．

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5、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ 已知向量 $\vec{m} = (b, \cos (B - \frac{π}{6}))$ ， $\vec{n} = (- \sin A, a)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A C$ 的中点， $B D = \sqrt{7}$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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6、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ .

(1)、若 $|\vec{c}| = 1$ ，且 $\vec{c} // \vec{a}$ ，求 $\vec{c}$ 坐标；

(2)、若 $\vec{b}$ 为单位向量，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - 5 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角.

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7、若函数 $y = \cos 2 x + \sqrt{3} \sin 2 x + a 在 [0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为．

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8、 $△ A B C$ 的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2, a = 2$ ，则（）

A、 $b c \cos A = 2 a$ B、 $b^{2} + c^{2} = 8$ C、角A的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$

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9、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D, E$ 分别在 $A B, A C$ 边上，且 $\vec{B D} = \vec{D A}, \vec{A E} = 3 \vec{E C}$ ，点 $F$ 为 $D E$ 中点，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{8} \vec{B A} + \frac{3}{8} \vec{B C}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ C、 $\frac{3}{8} \vec{B A} + \frac{3}{8} \vec{B C}$ D、 $\frac{3}{8} \vec{B A} + \frac{3}{4} \vec{B C}$

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10、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）在一个周期内的图象如图所示，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{6}$

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11、若 $a = e^{0.1}, b = e^{0.2}, c = ln 0.3$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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12、某人在A处向正东方向走 $x k m$ 后到达B处，他沿南偏西 $60^{\circ}$ 方向走 $3 k m$ 到达C处，结果他离出发点恰好 $\sqrt{3}$ $k m$ ，那么 $x$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ 或 $3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ 或 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ 或 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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13、已知角 $α$ 的终边经过点 $M (- 1, \sqrt{2})$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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14、若 $M$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 位于第一象限的点， $F$ 是抛物线的焦点， $|M F| = \frac{5}{2} p$ ，则直线 $M F$ 的斜率为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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15、极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，极点 $P (x_{0}, y_{0})$ （不是坐标原点）对应的极线为 $l_{P} : \frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $6 \sqrt{2}$ ，左焦点与抛物线 $y^{2} = - 12 x$ 的焦点重合，对于椭圆 $E$ ，极点 $P (- 6, 0)$ 对应的极线为 $l_{P}$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，在极线 $l_{P}$ 上任取一点 $Q$ ，设直线 $M Q$ ， $N Q$ ， $P Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ （ $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 均存在）.

(1)、求极线 $l_{P}$ 的方程；

(2)、求证： $k_{1} + k_{2} = 2 k_{3}$ ；

(3)、已知过点 $Q$ 且斜率为2的直线与椭圆 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $P A$ ， $P B$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点分别为 $C$ ， $D$ ，证明直线 $C D$ 恒过定点，并求出定点的坐标.

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16、已知直线 $l_{1}$ ： $y = a x + 2$ ，直线 $l_{2}$ ： $y = (a^{2} - 2) x - 2 a$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a =$ .

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17、自然数 $2^{2023}$ 的位数为（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ）（）

A、607 B、608 C、609 D、610

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18、已知 $\frac{cos (\frac{3 π}{2} - α)}{cos (π + α)} = - 2$ ，则 $\frac{2 sin α + cos α}{sin α - cos α} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、5 D、 $- 5$

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19、已知点 $F (2, 0)$ ，直线 $l : x = 1$ ，动点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $|P M|$ ，且 $|P F| = \sqrt{2} |P M|$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹方程，并说明是什么曲线；

(2)、过点 $F$ 且倾斜角大于 $\frac{3 π}{4}$ 的直线 $l^{'}$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，与 $P$ 的轨迹相交于两点 $M_{1}, M_{2}$ ，且 $\vec{F M} = λ \vec{F M_{1}} = μ \vec{F M_{2}} (λ, μ \in R)$ ，求 $λ + μ$ 的值及 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的取值范围.

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20、若函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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