【高考真题】2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题天津卷（网传）

试卷更新日期：2026-06-16 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，3}，集合B={-2，0，1}，则 $(∁_{U} A)$ ∪B=（）

A、{-2} B、{-2，2} C、{0，1，2} D、{-2，0，1，2}

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2. 设x∈R，则“x>0”是 $“ x^{2} + 3 x > 0 ”$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数r=-0.91，根据最小二乘法算得： $\overset{⌢}{y} = - 1.17 x + 1370.7$ ，下列说法正确的是（）

A、y与x呈负相关 B、当x=10时，y一定为1359 C、当x=10时，y一定小于1359 D、两变量无线性关系

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4. 函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）

A、x+sinπx B、x-sinπx C、-x+sinπx D、x·sinπx

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5. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法错误的是（）

A、AC∥A₁C₁ B、CC₁⊥面ABC C、面ACD₁∥面A₁C₁B D、面ADD₁⊥面ACD₁

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6. 已知函数f（x）=|lnx|.若a=f（2^0.3），b=f（3^0.3），c=f（3^-0.5），则a，b，c的大小关系为（）

A、a<b<c B、b<a<c C、c<b<a D、c<a<b

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7. 设x≠0，则 $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{4}{x})$ 最小值为（）

A、10 B、9 C、8 D、6

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8. 已知数列{a_n}的前n项和为 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n} = n, a_{3} = 6,$ 则 $a_{7} + a_{8} =$ （）

A、68 B、56 C、-3 D、-4

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）$ 的左焦点为F，A是右顶点，P是双曲线上一点，满足|FA|=|FP|，∠FAP=30°，则双曲线离心率为（）

A、4 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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二、填空题：把答案填在题中的横线上。

10. 已知i是虚数单位，化简 ${(3 + i)}^{2}$ =.

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11. 在 ${(x + 2 y)}^{4}$ 展开式中x³y的系数为.

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12. 在△ABC中，BC=4，AC=3，cosA=- $\frac{1}{4}$ ，则sinB=.

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13. 箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球.有放回的取三次，回答下列问题：
①三次都没取到黄球的概率是；
②在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.

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14. 已知 $|\vec{a}| = \vec{a} \cdot \vec{b} = 1, ∣ \vec{b} ∣ > 1 .$ 记 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} .$ 回答下列问题：
①当 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \vec{0}$ 时，λ+μ=；
②当 $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = 1$ 时，λ+μ的范围是.

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15. 在平面内，O为坐标原点，抛物线y²=2x上有A、B、C、D四个点，纵坐标分别为y_A、y_B、y_C、y_D ，直线AB与直线CD交x轴于点P，直线AC交x轴于点M，直线BD交x轴于点N，以下说法正确的有.
①若M与抛物线焦点重合，则 $y_{A} y_{C} = - 2;$
② $y_{A} \cdot y_{B} = y_{C} \cdot y_{D};$
③ $∣ O M ∣ ∣ O N ∣ = 2 ∣ O P ∣^{2};$
④ $|y_{A} - y_{C}| ∣ O P ∣ = |y_{B} - y_{D}| ∣ O M ∣;$
⑤ $\frac{S_{△ A C P}}{S_{△ B D P}} = (\frac{∣ O M ∣}{∣ O N ∣})^{2}$

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三、解答题：解答写出文字说明、证明过程和计算步骤。

16. 函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$

(1)、求f（x）的最小正周期；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{12}]$ 上，求f（x）的最大值和最小值；

(3)、若 $α \in (0, \frac{π}{2}), s i n α = \frac{\sqrt{3}}{3},$ 求f（α）.

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17. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2, A A_{1} = 3, A D = 4, A_{1} E = 3 E D_{1}, 2 C_{1} F = F C .$

(1)、求证：BD⊥面CEF.

(2)、求面AEF与面CEF的夹角的余弦值：

(3)、求三棱锥A-CEF的体积.

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18. 已知椭圆C $: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）$ 的离心率为 $\frac{1}{2},$ 椭圆被直线x=b截的线段长为 $\sqrt{3} .$

(1)、求C的标准方程；

(2)、斜率为 $- \sqrt{3}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 相切，且该直线交椭圆于 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2}), y_{1} < y_{2} . A$ 是椭圆上顶点.记直线AP，AQ的斜率分别为k₁ ， k₂ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值.

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19. 等差数列 $\{a_{n}\}$ 与等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2, b_{1} = 1, a_{2} = b_{1} + b_{2}, a_{4} = b_{3} - b_{1} .$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、记 $E_{n} = {x \in R ∣ x \leq n, \exists k \in N^{*}$ 使得 $x = a_{k}$ 或x=b_k}，记 $c_{n}$ 为 $E_{n}$ 中的元素个数.回答下列问题：
①求 $C_{3^{n}};$
②求 $\sum_{m = 1}^{3 m - 1} {(- 1)}^{m} \cdot a_{m} \cdot c_{m}$ .

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20. 已知 $f (x) = e^{x} - \frac{2}{3} s i n x .$

(1)、求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程.

(2)、当 $x \in [- \frac{1}{3}, + \infty)$ 时，证明 $f (x) \geq 1 + \frac{x}{3} .$

(3)、 $\forall n \in N^{*}, f (1) \cdot f (\frac{1}{2}) \cdot f (\frac{1}{3}) \cdot f (\frac{1}{4}) \dots f (\frac{1}{n}) ⩾ {(n + 1)}^{a}$ 恒成立.求实数a的最大值

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