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相关试卷

1、若无穷正整数数列 $\{x_{n}\}$ 满足递推关系 $x_{n + 1} = \{\begin{array}{l} x_{n} + 3, x_{n} 为偶数 \\ \frac{x_{n} + 1}{2}, x_{n} 为奇数 \end{array} (n \in N_{+})$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 为好数列．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为好数列，且 $a_{4} = 6$ ，请写出 $a_{1}$ 所有可能的取值；

(2)、若 $\{b_{n}\}$ 为好数列，且 $b_{2025} = 2$ ，求 $b_{1}$ 最大的可能值；

(3)、证明：对任意的好数列 $\{c_{n}\}$ ，存在 $k \in N_{+}$ ，使得对 $\forall i \geq k$ ，都有 $c_{i} \leq 7$ ．

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2、在椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上有两点 $A (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, 1), B (0, 2)$ ．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、在线段 $A B$ 上取一点 $K$ （不包括端点），过 $K$ 作斜率为 $- \sqrt{2}$ 的直线交椭圆 $Γ$ 于 $P, Q$ 两点（ $P$ 在 $Q$ 左侧）．
（i）判断 $\frac{|K A|}{|K P|} \cdot \frac{|K B|}{|K Q|}$ 是否为定值.若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）设 $A P$ 中点为 $M$ ， $B Q$ 中点为 $N$ ， $O$ 为椭圆中心，证明：四边形 $O M K N$ 为平行四边形．

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3、数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 3^{n + 1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2 a_{n}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ， $T_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $T_{n} < m^{2} - 4 m + \frac{7}{2}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{3 - 2 x}{x^{2} + a} + 1$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极值，求 $f (x)$ 的单调区间，以及其最大值与最小值．

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5、舟山某海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：

(1)、根据图1频率分布直方图，求 $x$ ；

(2)、根据图2频率分布直方图，求新养殖法箱产量的第80百分位数的估计值（精确到 $0.01$ ）；

(3)、按照上述两个频率分布直方图，用样本频率估计总体概率，设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 $A$ 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于60kg，且新养殖法的箱产量不低于60kg”，估计 $A$ 的概率．

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6、已知直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 在第一象限交于 $M, N$ 两点， $l$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $P, Q$ 两点，且 $|P M|$ $= |Q N|$ ， $|P Q| = 2 \sqrt{3}$ ，则直线 $l$ 的方程为．

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7、若圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 与曲线 $C_{2} : y = \ln (x - 1) + m$ 的公切线经过 $(1, - \frac{1}{2})$ ，求 $m =$ ．

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8、已知直线 $l_{1} : x + 2 y + 1 = 0$ 和 $l_{2} : 2 x + a y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a =$ ．

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9、三支不同的曲线 $a_{i} |y - 2| = x (a_{i} > 0, i = 1, 2, 3)$ 交抛物线 $x^{2} = 8 y$ 于点 $A_{i}, B_{i} (i = 1, 2, 3)$ ， $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线的焦点，下列说法正确的是（）

A、若 $S_{△ O F A_{i}} = 2 S_{△ O F B_{i}}$ ，则 $|F A_{i}| = 6 (i = 1, 2, 3)$ B、若 $a_{1} = 1$ ，则 $|F A_{1}| + |F B_{1}| = 12$ C、记 $△ A_{i} F B_{i}$ 的面积为 $S_{i}$ ，若 $S_{1} S_{2} = S_{3}^{2}$ ，则 $a_{1} a_{2} = a_{3}^{2}$ D、记 $△ A_{i} F B_{i}$ 的面积为 $S_{i}$ ，若 $S_{1} + S_{2} = 2 S_{3}$ ，则 $a_{1} + a_{2} = 3 a_{3}$

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10、已知圆 $C_{k} : x^{2} + y^{2} + 4 k x + 2 (k - 1) y + 5 k^{2} - 2 k = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、所有圆 $C_{k}$ 均不经过点 $(3, 0)$ B、圆心 $C_{k}$ 的轨迹方程为 $x - 2 y + 2 = 0$ C、若圆 $C_{k}$ 与圆 $M : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 外切，则 $k = - 1$ 或者 $k = - \frac{1}{5}$ D、若直线 $l : x - y + 1 = 0$ 与圆 $C_{k}$ 相交于 $A$ 、 $B$ ，且 $|A B| = \sqrt{2}$ ，则 $k = - 1$

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11、已知 $A, B$ 为随机事件， $P (A) = 0.5, P (B) = 0.3$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $A, B$ 为互斥事件，则 $P (A \cup B) = 0.8$ B、若 $A, B$ 为互斥事件，则 $P (\bar{A} \cup \bar{B}) = 0.2$ C、若 $A, B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = 0.65$ D、若 $A, B$ 相互独立，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.35$

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 为双曲线 $C$ 的右支上一点， $∠ P F_{2} F_{2} = 2 ∠ P F_{1} F_{2}$ ，若 $△ F_{2} P F_{1}$ 为锐角三角形，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(\sqrt{5}, 2 \sqrt{2})$ B、 $(1, \sqrt{2} + 1)$ C、 $(2 \sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(\sqrt{2} + 1, \sqrt{3} + 1)$

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13、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 4 = 0$ ，直线 $l : x + y + 1 = 0$ ， $Q$ 为 $l$ 上的动点．过点 $Q$ 作圆 $C$ 的切线 $Q A, Q B$ ，切点为 $A, B$ ，当 $|A B| \cdot |C Q|$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $x + y - 2 = 0$ B、 $5 x + 5 y - 12 = 0$ C、 $x + 2 y - 3 = 0$ D、 $3 x + 6 y - 8 = 0$

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14、柜子里有3双不同的鞋，分别用 $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ 表示6只鞋．如果从中随机地取出2只，记事件 $A =$ “取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，求事件 $A$ 的概率 $P (A) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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15、下列求导运算不正确的是（）

A、 ${(e^{x} \cdot \sin x)}^{'} = (\cos x + \sin x) e^{x}$ B、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ C、 ${(3^{x} + \ln 3)}^{'} = 3^{x} \ln 3 + \frac{1}{3}$ D、 ${[\ln (2 x)]}^{'} = \frac{1}{x}$

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16、演讲比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分.8个有效评分与10个原始评分相比，不变的数字特征是（）．

A、中位数 B、平均数 C、方差 D、极差

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17、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ ，则 $m =$ （）

A、 $m = \frac{1}{2}$ B、 $m = - \frac{1}{2}$ C、 $m = 2$ D、 $m = - 2$

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18、已知直线方程 $x + \sqrt{3} y + \sqrt{3} = 0$ ，则倾斜角为（）

A、 $150 °$ B、 $120 °$ C、 $60 °$ D、 $30 °$

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19、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ), (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的一段图象如图所示
（1）求 $f (x)$ 的解析式；
（2）把 $f (x)$ 的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？

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20、如图，正方形ABCD边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点.

(1)、当 $∠ P C Q = \frac{π}{4}$ 时，求 $△ C P Q$ 的面积最小值（ $△ C P Q$ 的面积公式是 $S = \frac{\sqrt{2}}{4} C P \cdot C Q$ ）；

(2)、求当 $Δ A P Q$ 的周长为2时，求 $∠ P C Q$ 的大小.

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