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相关试卷

1、不等式 $\frac{2 x - 1}{1 - x} \geq 1$ 的解集是（）

A、 $\{x ∣ \frac{1}{2} \leq x < 1\}$ B、 $\{x ∣ x \leq \frac{1}{2}$ 或 $x > 1\}$ C、 $\{x ∣ \frac{2}{3} \leq x < 1\}$ D、 $\{x ∣ x \leq \frac{2}{3}$ 或 $x > 1\}$

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2、已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边过点 $P (- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3、已知集合 $A = \{0, a\}, B = \{1, a^{2} - 2, 1 - a\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、2或 $- 1$

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4、如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A_{1} A / / B_{1} B$ ， $C_{1} C / / B_{1} B$ ， $A A_{1} = 2 B B_{1} = 4$ ， $C C_{1} = 3$ ，设 $O$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $C_{1} O ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、设 $D$ 为棱 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，求 $B_{1} D$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值的最大值．

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5、对于函数 $h (x) = a \sin x + b \cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $h (x)$ 的相伴特征向量，同时称函数 $h (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的相伴函数.

(1)、设函数 $g (x) = \sin (x - \frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{3 π}{2} + x)$ ，试求函数 $g (x)$ 的相伴特征向量；

(2)、记向量 $\vec{O N} = (1, \sqrt{3})$ 的相伴函数为 $f (x)$ ；
①当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}]$ 时，求相伴函数的值域；
②当 $x \in [0, \frac{11 π}{12}]$ 时，不等式 $f (x) + k f (x + \frac{π}{2}) \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围

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6、已知 $s i n α = \frac{1}{7}, c o s (α + β) = \frac{11}{14}$ ，其中 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$

(1)、求 $\cos β$ ；

(2)、求 $\sin (2 α - β)$ ．

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7、对于任意的 $x > 0,$ 不等式 $a^{x} > \log_{a} x (a > 0,$ 且 $a \neq 1)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是．

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8、记 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 对边分别为 $a, b, c$ .已知 $b = 2, c = 3, cos (B + C) = - \frac{2}{3}$ ，则 $a =$ .

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9、已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 和 $C_{2} : \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ ，其中 $a > 0, b > 0$ ，且 $a \neq b$ ，则（）

A、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有相同的实轴 B、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有相同的焦距 C、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有相同的渐近线 D、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有相同的离心率

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10、已知正四棱锥 $M - A B C D$ 的棱长均为2，下列说法不正确的是（）

A、平面 $M A B$ 与平面 $A B C D$ 夹角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、若点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B A} + μ \vec{B D} + (1 - λ - μ) \vec{B M}$ ，则 $|\vec{C P}|$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、在四棱锥 $M - A B C D$ 内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为 $16 - 8 \sqrt{3}$ D、点 $Q$ 在平面 $A B C D$ 内，且 $|\vec{D Q}| = 2 |\vec{Q A}|$ ，则点 $Q$ 轨迹的长度为 $\frac{4 π}{9}$

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11、函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2} + |x| - 2}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知集合 $A = \{x| x^{2} - 3 x \geq 0\}, B = \{0,1, 2,3\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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13、已知角 $α$ 的终边在射线 $y = - 2 x (x \leq 0)$ 上，则 $\sin (2 α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$

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14、抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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15、在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 2, 0)$ ， $B (- 2, 2)$ ，若点 $P$ 为圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $| \vec{A B} + \vec{A P} |$ 的最大值为（）

A、 $3$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $5$ D、 $2 \sqrt{2} + 1$

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16、已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 只有一个零点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $g (x) = e^{x - 1} + x f (x)$ ，若 $g (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 \cdot 2^{n + 1}$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{(n + 1) a_{n}}{3 n - 2}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .
（ⅰ）求 $S_{n}$ ；
（ⅱ）若 $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} < m \cdot 3^{n + 1}$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 6 a x + b \ln x + 2 a^{2} (a, b \in R)$

(1)、若 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $4 x - 2 y - 1 = 0$ ，求a与b的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处有极值 $- \frac{5}{2}$ ，求a与b的值.

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19、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 28$ ，且 $3 a_{2} = 2 a_{1} + a_{3}$ ，公比 $q \neq 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {(- 1)}^{n + 1} \cdot a_{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20、令 $f (x) = x^{2}$ ，对抛物线 $y = f (x)$ 持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点 $(1, 1)$ 处作抛物线的切线交 $x$ 轴于 $(x_{1}, 0)$ ；
在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处作抛物线的切线，交 $x$ 轴于 $(x_{2}, 0)$ ；
在点 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 处作抛物线的切线，交 $x$ 轴于 $(x_{3}, 0)$ ；
……
得到一个数列 $\{x_{n}\}$ ，则 $x_{1}$ 的值为；数列 $\{x_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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