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相关试卷

1、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为平行四边形，其中 $A B = 2, A D = P D = \sqrt{3}, ∠ B A D = \frac{π}{6},$ $B D ⊥ A P, A B ⊥ P D$ ，

(1)、证明： $P B ⊥ B C$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 的所成角的正弦值．

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2、宁波市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准 $x$ （千瓦时）：月用电量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照 $[0, 100), [100, 200), \dots,$ $[600, 700)$ 分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)、求直方图中a的值以及所有样本的平均用电量；

(2)、宁波市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数，并说明理由：

(3)、宁波市政府希望使 $85 %$ 的居民每月的用电量不超过标准 $x$ （千瓦时），估计 $x$ 的值（保留整数），并说明理由．

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3、如图，已知圆台 $O O_{1}$ 的轴截面为等腰梯形 $A B B_{1} A_{1}$ ，满足 $A B = 4, A_{1} B_{1} = 2$ ，点 $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ （不包括端点）上一点， $M$ 为线段 $B C$ 的中点，

(1)、证明： $B_{1} M //$ 平面 $A_{1} A C$ ；

(2)、若圆台 $O O_{1}$ 的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ ，求圆台 $O O_{1}$ 的表面积．

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4、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B D_{1}$ 上运动，点 $E$ 在线段 $C_{1} D_{1}$ 上运动，点 $F$ 在底面 $A B C D$ 运动（含边界），则 $\sqrt{2} P F + P E$ 的最小值为．

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5、已知正四棱台的高为 $\frac{9}{4}$ ，上、下底面边长分别为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $2 \sqrt{3}$ ，若在它的内部有一个球，那么该球表面积的最大值为．

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6、有一组数据： $5, 7, 2, 4, 11, 9$ 则这组数据的第 $40$ 百分位数为．

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7、如图，正四面体 $P - A B C$ 中， $M$ 是线段 $A B$ 上的动点， $N$ 是线段 $P C$ 上的动点，记 $B N$ 与平面 $P M C$ 的所成角为 $θ$ ， $B N$ 与 $A C$ 的夹角为 $φ$ ，平面 $P M C$ 与平面 $P B C$ 的夹角为 $β$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $θ \leq φ$ B、 $θ \leq β$ C、 $φ \leq β$ D、 $φ \geq β$

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8、亚运会期间，宁波市要选拔射击运动员参加比赛，已知射击标靶的环数是0到10环，若要求连续10次射击均不小于7环．下面是四位选手各自连续10次的射击情况的数据特征，其中肯定能通过选拔的是（）

A、甲选手：平均数为8，众数为7 B、乙选手：平均数为9，方差为1 C、丙选手：中位数为7，众数为8 D、丁选手：中位数为9，极差为2

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9、已知 $z_{1}, z_{2}$ 是复数，则下列结论正确的是（）

A、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ B、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ C、 $\bar{{(z_{1} + z_{2})}^{2}} = {(\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}})}^{2}$ D、 ${|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 {|z_{1}|}^{2} + 2 {|z_{2}|}^{2}$

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10、体积为1的正四棱锥 $P - A B C D$ 的侧棱 $P A, P C, P D$ 上分别有三点 $E, F, G$ ，且 $E A = 2 P E, P F = F C,$ $P G = 3 G D$ ，则三棱锥 $B - E F G$ 的体积为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11、如图，已知 $△ A B C$ 满足 $A B ⊥ A C, ∠ A C B = 30 °$ ， $D$ 为 $B C$ 中点， $E$ 为线段 $A C$ 上的动点，记 $∠ E D C = θ$ ．将四边形 $A B D E$ 沿着 $D E$ 翻折成几何体 $C - A_{1} B_{1} D E$ ，在翻折过程中，总存在某一个位置使得 $B_{1} C ⊥ E C$ ，则 $θ$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ B、 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ C、 $(\frac{π}{3}, \frac{2π}{3})$ D、 $(\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3})$

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12、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 中点， $F$ 为棱 $C C_{1}$ 中点，点 $G$ 在侧面 $C C_{1} D_{1} D$ 上运动（含边界），若 $A G //$ 平面 $A_{1} E F$ ，则点 $G$ 的轨迹长度为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、1

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13、已知圆锥的高为2，底面半径为 $2 \sqrt{2}$ ，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（）

A、4 B、6 C、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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14、已知 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的方差为2，则 $3 x_{1} + 1, 3 x_{2} + 1, \dots, 3 x_{n} + 1$ 的方差为（）

A、12 B、18 C、19 D、36

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15、若斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形，则原图形的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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16、若复数 $z$ 满足 $\frac{{(- i)}^{2025}}{2 z + 1} = 2 - i$ ，则 $z$ 的实部与虚部之和为（）

A、 $- \frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ B、 $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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17、《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事.假设在一片草场上有若干村民和一名牧童.每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救.若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为 $\frac{1}{2}$ ，求解下列问题：

(1)、当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望；

(2)、当村民数为 $2 n (n \in N^{*})$ 时，求全体村民赶来营救的概率；

(3)、假设村民数为2，牧童呼救时撒谎的概率为 $\frac{1}{4}$ .在正常情况下，每位村民的营救意愿为 $\frac{1}{2}$ ；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为 $\frac{1}{4}$ .记牧童第 $n$ 次呼救时，村民白跑的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ 的表达式.

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18、已知 $f (x) = | x - a | \cdot | x - 3 a | (a > \frac{2}{3})$

(1)、当 $a = 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 1$ ；

(2)、已知 $g (x) = f (x) + t$ 有四个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，求 $x_{1} x_{2} + x_{3} x_{4} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{4}$ ；

(3)、当 $x \in [1, 2]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值 $M$ ，最小值 $m$ .

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19、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为AD的中点， $A E = A B = 2$ ，将 $△ A B E$ 沿BE翻折至 $△ A^{'} B E$ 的位置，点 $F$ 在 $A^{'} D$ 上，且 $\vec{A^{'} F} = \frac{2}{3} \vec{A^{'} D}$

(1)、求证： $A^{'} B / /$ 平面 $C E F$ ；

(2)、若平面 $A^{'} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，求二面角 $F - C E - D$ 的余弦值.

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20、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 所对的边，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且满足 $c = 3 b, 3 \sin B = \tan A \cos C + \sin C$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、若 $B D = 3 D C$ ，求 $\sin ∠ B A D$ .

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