相关试卷

1、【问题背景】综合实践课上，王老师给出了这样一道题：在等边 $△ A B C$ 右侧作射线 $C P, ∠ A C P = α (0 ° < α < 60 °)$ ，点 $A$ 关于射线 $C P$ 的对称点为点 $D$ ，连接 $A D$ ．求 $∠ D B C$ 的大小（用含 $α$ 的代数式表示）．小明读完题后很快给出了解法：如图，连接 $C D$ ．
$∵$ 点 $A$ 关于射线 $C P$ 的对称点为点 $D$ ，
$∴ C P$ 为 $A D$ 的垂直平分线，
$∴ C A = C D$ ，
根据等腰三角形三线合一性可得 $∠ D C P = ∠ A C P = α$ ，
$∵ △ A B C$ 是等边三角形，
$∴ A C = B C, ∠ A C B = 60 °$ ，
$∴ B C = D C$ ，
$∠ B C D = 60 ° + 2 α$ ．
$∴ ∠ D B C = ∠ B D C = \frac{1}{2} (180 ° - ∠ B C D) = \frac{1}{2} [180 ° - (60 + 2 α)] = 60 ° - α$ ．
【变式拓展】为了帮助学生更好地掌握几何推理计算和证明方法，感悟数学思想，王老师对上述问题进行了变式和拓展，请你解答下面问题：已知等边 $△ A B C$ ，过顶点 $C$ 作射线 $C F, ∠ A C F = α (0 ° < α < 30 °)$ ，点 $B$ 关于射线 $C F$ 的对称点为点 $D, B D$ 交 $C F$ 于点 $E$ ，射线 $D A$ 交 $C F$ 于点 $G$ ，连接 $C D$ ．

(1)、如图1，若射线 $C F$ 在边 $A C$ 右侧，
①求 $∠ A D C =$ ___________， $∠ B D C =$ ___________（用含 $α$ 的代数式表示）；
②求证： $E C + A G = \frac{1}{2} G D$ ．

(2)、如图2，若射线 $C F$ 在边 $A C$ 左侧，且 $α = 10 °$ ， $A G = 4$ ， $G D = 14$ ，请直接写出 $C E$ 的长．

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2、著名的赵爽弦图（如图 $1$ ，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 $a$ ，较小的直角边长都为 $b$ ，斜边长都为 $c$ ），大正方形的面积可以表示为 $c^{2}$ ，也可以表示为 $4 \times \frac{1}{2} a b + {(a - b)}^{2}$ ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为 $a$ 、 $b$ ，斜边长为 $c$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
（1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图 $2$ 推导勾股定理．
【方法运用】
（2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $C$ ，河边原有两个取水点 $A$ 、 $B$ ， $A B = A C$ ，由于某种原因，由 $C$ 到 $A$ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 $H$ （ $A$ 、 $H$ 、 $B$ 在同一条直线上），并新修一条路 $C H$ ，且 $C H ⊥ A B$ ．测得 $C H = 0.8$ 千米， $H B = 0.4$ 千米，则新路 $C H$ 比原路 $C A$ 短_______千米．
【应用拓展】
（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若 $A B \neq A C$ 时， $C H ⊥ A B$ ， $A C = 10$ ， $B C = 17$ ， $A B = 21$ ，求 $C H$ 的长；可以列方程求解，设 $A H = x$ ，则可求出 $C H =$ _______．

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3、如图，点 $E$ 是平行四边形 $A B C D$ 边 $C D$ 的中点，连接 $A E$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $F ， A D = 5$ ．求证： $△ A D E ≌ △ F C E$ ，并求 $B F$ 的长．

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4、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 顶点的坐标分别为 $A (- 1, 4), B (- 2, 1), C (- 4, 3)$ ．

(1)、画出与 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三个顶点的坐标：

(2)、若 $△ A B C$ 中存在一点 $M (a, b)$ ，则点 $M$ 关于 $y$ 轴对称后其对应点 $M^{'}$ 的坐标是___________．

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5、如图， $∠ A O B = 30 °$ ，点 $C$ 、点 $D$ 分别在 $∠ A O B$ 的边 $O A$ 、 $O B$ 上，且 $O C = \frac{5}{4}$ ， $O D = 3$ ，点 $E$ 为射线 $O A$ 上一个动点，点 $F$ 为射线 $O B$ 上一个动点，则 $C F + E F + D E$ 的最小值为．

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6、如图，点B，C，D在同一直线上，若 $△ A B C ≌ △ C D E$ ， $D E = 4$ ， $B D = 14$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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7、综合与实践
【问题发现】
（1）如图，将由5个面积都是 $1 {cm}^{2}$ 的小正方形组成的图形沿虚线剪开，可以拼成一个大正方形（虚线所示正方形），则该大正方形的边长为_____ $cm$ ．
【拓展延伸】
（2）小丽想用一块面积为 $49 {cm}^{2}$ 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 $36 {cm}^{2}$ 的长方形纸片（如图），使它的长与宽的比为 $3 : 2$ ．她正在发愁能否用这块纸片裁出符合要求的纸片，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗？请通过计算说明理由．

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8、
【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．
如图1，矩形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 剪开，得到 $△ A B C$ 和 $△ A C D$ ．并且量得 $A B = 2 cm$ ， $A C = 4 cm$ ．
【操作发现】
（1）将图1中的 $△ A C D$ 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使 $∠ α = ∠ B A C$ ，得到如图2所示的 $△ A C^{'} D$ ，过点C作 $A C^{'}$ 的平行线，与 $D C^{'}$ 的延长线交于点E，则四边形 $A C E C^{'}$ 的形状是________；
（2）创新小组将图1中的 $△ A C D$ 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的 $△ A C^{'} D$ ，连接 $C C^{'}$ ，取 $C C^{'}$ 的中点F，连接 $A F$ 并延长至点G，使 $F G = A F$ ，连接 $C G$ 、 $C^{'} G$ ，得到四边形 $A C G C^{'}$ ，请你判断四边形 $A C G C^{'}$ 的形状，并证明你的结论；
【实践探究】
（3）缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，进行如下操作：将 $△ A B C$ 沿着 $B D$ 方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至 $A^{'}$ 点， $A^{'} C$ 与 $B C^{'}$ 相交于点H，如图4所示，连接 $C C^{'}$ ，试求 $tan ∠ C^{'} C H$ 的值．

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9、端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，并对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级中各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制成如图所示的统计图表．
已知七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、 $a =$ ______， $b =$ ______；

(2)、样本中，八年级活动成绩为7分的学生有______名，八年级活动成绩的众数为______分；

(3)、若活动成绩不低于9分为“优秀”，请根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．

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10、综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
【问题发现】
$(1)$ 如图 $1$ ，在矩形 $A B C D$ 中， $∠ A C D = 30 °$ ，点 $F$ 在对角线 $A C$ 上，过 $F$ 点分别作 $A B$ 和 $A D$ 的垂线，垂足为 $E$ ， $G$ ，则四边形 $A E F G$ 为矩形．请问线段 $C F$ 与 $D G$ 的数量关系为　　．
【拓展探究】
$(2)$ 如图 $2$ ，将图 $1$ 中的矩形 $A E F G$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，记旋转角为 $α$ ，当 $0 ° < α < 180 °$ 时，连接 $C F$ ， $D G$ ，在旋转的过程中， $C F$ 与 $D G$ 的数量关系是否仍然成立？请利用图 $2$ 进行证明．
【解决问题】
$(3)$ 如图3，当矩形 $A B C D$ 的边 $A D = A B$ 时，点 $E$ 为直线 $C D$ 上异于 $D$ ， $C$ 的一点，以 $A E$ 为边作正方形 $A E F G$ ，点 $H$ 为正方形 $A E F G$ 的中心，连接 $D H$ ，若 $A D = 4$ ， $D E = 2$ ，直接写出 $D H$ 的长．

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11、综合与实践
【项目背景】 $GDP$ 一般指一个国家或地区在一定时期内所生产的所有最终商品和服务的市场价值总和，为了解安徽省近五年来经济发展状况，数学兴趣小组通过调查安徽省2023年和2025年上半年全省16市 $GDP$ 值，为安徽省经济蓝图发展提出建议．
将收集的数据进行如下分组：
组别
A
B
C
D
$x$
        $x \geq 2000$
        $1500 \leq x < 2000$
        $1000 \leq x < 1500$
        $x < 1000$
绘制2023，2025上半年安徽省各市 $GDP$ 频数分布直方图

(1)、任务一：分别补全上述两幅条形统计图；

(2)、任务二：【数据收集与整理】单位（亿元，数据来源：安徽省统计局发布）
2023年C组值
1409
1332
1181
1065
1057
1030
2025年C组值
1462
1351
1311
1225
1173
1135
2023年上半年16市 $GDP$ 数据中位数是 $a, 2025$ 年上半年16市 $GDP$ 数据中位数是 $b$ ，则 $a =$ ___________， $b =$ ___________；

(3)、任务三：下列说法正确的是___________；
①相比2023年，2025年A组个数增加 $50 %$ ；
②相比2023年，2025年D组个数减少 $20 %$ ；
③不计算，记2023年C组数据方差为 $S_{1}^{2}, 2025$ 年C组数据方差为 $S_{2}^{2}$ ，则 $S_{1}^{2} > S_{2}^{2}$ ．

(4)、任务四：结合两幅统计图，对安徽省经济增降情况做出判断并给出 $1 \sim 2$ 条合理的建议．

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12、2026年春晚<<武 $B O T$ >>机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图 $1$ ，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图 $2$ 为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中 $∠ B A E = 120 °$ ， $∠ B C D = 150 °$ ， $∠ A B C = 3 ∠ C B F$ ，若 $A E ∥ C D$ ，则 $∠ A B F =$ 度．

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13、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支)，可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支)只能按零售价付款。某会议会务人员到该店采购铅笔，如果给参会人员每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用 120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用 120元。

(1)、该会议的参会人员总数在什么范围内?

(2)、如果按批发价购买360 支与按零售价购买300支所付款相同，那么该会议的参会人员有多少人?

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14、阅读理解
材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
$\frac{1}{x}$
…
-0.25
-0.3
-0.5
-1
无意
义
1
0.5
0.3
0.25
…
从表格数据观察，当x>0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x<0时，随着x的增大，的值也随之减小.
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式.当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式.有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式.如：
$\frac{2 x + 1}{x - 4} = \frac{2 x - 8 + 9}{x + 4} = \frac{2 x - 8}{x - 4} + \frac{9}{x - 4} = 2 + \frac{9}{x - 4}$
根据上述材料完成下列问题：

(1)、当x>0时，随着x的增大， $1 + \frac{1}{x}$ 的值（增大或减小)；
当x<0时，随着x的增大， $\frac{x + 2}{x}$ 的值（增大或减小)；

(2)、当x>1时，随着x的增大， $\frac{2 x + 2}{x - 1}$ 的值无限接近一个数，请求出这个数；

(3)、当0≤x≤2时，求代数式 $\frac{5 x - 2}{x - 3}$ 值的范围。

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15、解方程

(1)、 $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1} = 1$

(2)、 $\frac{1 - 3 x}{1 + 3 x} - \frac{3 x + 1}{3 x - 1} = \frac{12}{1 - 9 x^{2}}$

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16、计算

(1)、 ${(- 2)}^{2} + {(\sqrt{3} - π)}^{0} + ∣ 1 - \sqrt{3} ∣$

(2)、先化简再求值 $(1 - m + \frac{3}{m + 1}) \div \frac{m + 2}{m + 1}$ ，其中 $m = 2 - \sqrt{2}$

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17、化简 $\frac{4 x}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2}$ 的结果是（ )

A、 $- x^{2} + 2 x$ B、 $- x^{2} + 6 x$ C、 $- \frac{x}{x + 2}$ D、 $\frac{x}{x - 2}$

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18、若分式 $\frac{x}{x + 3}$ 有意义，则x的取值范围是（ )

A、x≠-3 B、x≠0 C、 $x \neq \frac{1}{3}$ D、x≠3

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19、下列关于x的式子中，属于分式方程的是（ )

A、 $\frac{2}{x}$ B、 $\frac{x - 3}{4} = 1$ C、 $\frac{x + 3}{x + 2} = 4$ D、 $\frac{x}{2} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2} x$

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20、阳春三月，草长莺飞，春花烂漫，为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力.永州某中学文学社组织学生到距离学校40千米的永州植物园参观，共租用了一辆大客车和一辆小汽车，两车同时从学校出发，已知小汽车速度是大客车的1.5倍，小汽车司机小李因不留神从植物园的大门驶过，后发现路况不对，只好停下车来向路人询问，方知已经驶过植物园7千米，于是立即调头，恰好在植物园的大门口与大客车相遇，已知小李因问路而耽误了6分钟，求两车的速度分别是多少?

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组别	A	B	C	D
$x$	$x \geq 2000$	$1500 \leq x < 2000$	$1000 \leq x < 1500$	$x < 1000$

2023年C组值	1409	1332	1181	1065	1057	1030
2025年C组值	1462	1351	1311	1225	1173	1135