相关试卷

1、【学科融合】
物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角(如图①).由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角.这就是光的反射定律.

(1)、【数学推理】
如图②，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB 经过两次反射，得到反射光线CD.由以上光的反射定律可知∠1=∠2，∠3=∠4.在这样的条件下，求证： AB∥CD.

(2)、【尝试探究】
两块平面镜OM，ON，且∠MON=α，入射光线AB 经过两次反射，得到反射光线CD.
如图③，光线AB与CD相交于点 E，请你用α表示∠BEC；

(3)、如图④，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED=β，则α与β之间满足的等量关系是.

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2、【项目式探究】科技节里的“磁贴数学”.

项目背景	在麒麟中学科技节的“数学艺术展板设计”活动中，同学们需要利用不同尺寸的磁贴进行创意拼接(不重叠无缝隙)，并用整式乘法的知识解释拼接原理.
材料准备		三类磁贴： A 类：边长为a的正方形磁贴 B 类：边长为b的正方形磁贴 C 类：长为a、宽为b的长方形磁贴
探究环节	情境与图示	探究任务
基础探究	麒睿小组尝试用磁贴拼一个长为 (a+3b) 、宽为(2a+b) 的大长方形.	(1)求需要 A、B、C三类磁贴各多少张?
核心探究	麒智小组利用4张C类磁贴，拼出如图所示的大正方形.	(2)①【建模】利用“面积法”推导，写出(a+b)²、(a-b)²、(ab 三者之间的等量关系式 ▲ ； ②【应用】实数x，y满足3x-2y-5，且xy=1，请你仿照①中得到的结论，求 $(3 x + 2 y)^{2}$ 的值；
综合拓展	麒慧小组将A类与B类磁贴按图摆放，并连接相关线段形成阴影区域.	(3)已知A类大正方形与B类小正方形的面积之差为 50.结合已经探究的 “面积法，直接写出阴影部分面积为 ▲

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3、如图，在△ABC中， ∠B=∠C，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点.

(1)、实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母：(保留作图痕迹，不写作法)
①在 BD 右侧作∠DAM=∠C；
②连接BE 并延长交射线AM于点 F；

(2)、求证： AF∥BC且AF=BC.

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4、麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米.这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸.

(1)、把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖?如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元?

(2)、已知房屋的高度为h米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸?如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱?(计算时不算门、窗所占的面积).

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5、先化简，再求值： $[{(x - 3 y)}^{2} - (x + 2 y) (x - 2 y) - y^{2}] \div (- 2 y),$ 其中x=2，y=1.

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6、计算：

(1)、 $|- 3| + {(- 1)}^{2026} \times {(π - 3.14)}^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 2};$

(2)、 $- \frac{1}{4} a^{2} b^{3} \cdot {(2 a)}^{3} \div {(- 2 a b)}^{3} .$

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7、如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，F是线段AD上一动点，连接BF，以BF为边在其上方作等边△BFE，连接AE，若BC=12，则线段AE的最小值为.

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8、如图，长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH 折叠，使点 D 和点A 都落在点 M处，若∠1+∠2=120°，则∠EMF的度数是.

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9、若代数式 $x^{2} - (k - 1) x + 9$ 是一个完全平方式，则实数k=.

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10、若a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足 $∣ a - 6 ∣ + {(b - 4)}^{2} = 0,$ 则该等腰三角形的周长是.

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11、如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A₁ ， B₁ ， C₁ ，使A₁B=AB，B₁C=BC，C₁A=CA，顺次连接A₁ ， B₁ ， C₁ ，得到△A₁B₁C₁.第二次操作：分别延长A₁B₁ ， B₁C₁ ， C₁A₁至点 A₂ ， B₂ ， C₂ ，使 $A_{2} B_{1} = A_{1} B_{1}, B_{2} C_{1} = B_{1} C_{1}, C_{2} A_{1} = C_{1} A_{1},$ 顺次连接A₂ ， B₂ ， C₂ ，得到△A₂B₂C₂ ， …按此规律，要使得到的三角形的面积超过2026，最少经过( )次操作.

A、7 B、6 C、5 D、4

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12、脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有锥体旋转的脊柱畸形，医学上常用 Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当 Cobb角>10°为脊柱侧弯.如图是脊柱侧弯 Cobb角(∠O)的检测示意图，DA⊥OC于A，CB⊥OD于B，BC与AD交于点 E，已知 Cobb角为35°，则∠AEC的大小是( ).

A、35° B、45° C、55° D、65°

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13、麒麟中学校园内出现了下列场景，其中数学原理解释错误的是( ).

A、测量校门口两棵树之间的距离，园林工人要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短. B、班级文化建设时，小明用两颗图钉将一根木条固定在墙上，使海报挂正，应用的数学原理是：两点确定一条直线. C、春季学期体测测量跳远成绩，体育老师从落点向起跳线作垂线读取数据，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. D、从教学楼向操场边缘的直跑道修建一条最短甬路，施工人员选择了垂直于跑道的路线，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

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14、作△ABC的边BC上的高，下列作法中，正确的是( ).

A、 B、 C、 D、

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15、2026粤港澳大湾区花展于3月27日在深圳笔架山体育公园启幕，本届花展主题花为鸢尾.由南山区城市管理和综合执法局打造的“粼光贝屿“花园，一举斩获城市花园组金奖和最佳建造奖.已知鸢尾花花粉直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法示为( ).

A、 $7.5 \times 1 0^{- 6}$ B、 $7.5 \times 1 0^{- 5}$ C、 $75 \times 1 0^{- 7}$ D、 $0.75 \times 1 0^{- 5}$

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16、下列运算正确的是( ).

A、 ${(- a^{2})}^{3} = a^{6}$ B、 $a^{2} + 2 a = 3 a^{3}$ C、 ${(a b^{2})}^{3} = a^{3} b^{3}$ D、 ${(- a)}^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$

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17、阅读材料：有一边是另一边 $\sqrt{3}$ 倍的三角形叫做“卓越三角形”，这两边中较长的边称为“卓越边”，这两边的夹角称为“卓越角”．

(1)、如图①，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O ，已知 $∠ A B C = 60 °$ ，请找出图中的一个“卓越三角形”，并说明判断依据．

(2)、如图②， $△ A B C$ 是卓越三角形， $∠ A$ 是卓越角， $A C$ 是卓越边，若 $∠ B = 45 ° ，$ $A B = 2$ ，求 $B C$ 的长．

(3)、如图③，在平面直角坐标系中，有一卓越 $△ A B C$ ， $∠ B$ 是卓越角， $B C$ 是卓越边，顶点A在x轴上，其坐标为 $(5, 0)$ ，顶点B、C均在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的第一象限图象上，点B在点C下方，且纵坐标为 $\sqrt{3}$ ，当 $△ A B C$ 是直角三角形时，求反比例函数的表达式．

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18、如图

(1)、【探究发现】如图1，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点O ，在正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ 绕点O旋转的过程中，边 $A^{'} O$ 与边 $B C$ 交于点M ，边 $C^{'} O$ 与边 $C D$ 交于点N ．证明： $△ O M C ≌ △ O N D$ ．

(2)、【类比迁移】如图2，矩形 $A B C D$ 的对角线相交于点O ，且 $A B = 6$ ， $A D = 12$ ，在矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ ，绕点O 旋转的过程中，边 $A^{'} O$ 与边 $B C$ 交于点M ，边 $C^{'} O$ 与边 $C D$ 交于点N ．若 $D N = 1$ ，求 $C M$ 的长；

(3)、【拓展应用】如图3，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ 都是平行四边形，且 $∠ A^{'} O C^{'} = ∠ A D C$ ， $A B = 3$ ， $B C = 3 \sqrt{5}$ ， $△ B C D$ 是直角三角形，在 $▱ A^{'} B^{'} C^{'} O$ 绕点O 旋转的过程中，边 $A O$ 与边 $B C$ 交于点M ，边 $C^{'} O$ 与边 $C D$ 交于点N ．当 $▱ A B C D$ 与 $▱ A^{'} B^{'} C^{'} O$ 重叠部分的面积是 $▱ A B C D$ 的面积的 $\frac{1}{4}$ 时，请直接写出 $O N$ 的长．

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19、你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千 $A B$ 静止时，下端 $B$ 离地面 $l$ 的距离 $B D$ 为 $0.5 m$ ．

(1)、如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即 $∠ B A C_{1} = ∠ B A C_{2}$ ），当秋千分别荡到两边的最高点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 位置时，若 $A D$ 交 $C_{1} C_{2}$ 于点 $E$ ， $A E = \frac{1}{2} A D$ ，且 $C_{1} C_{2} = 4 m$ ，请你计算秋千 $A B$ 的长度．

(2)、如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为 $△ P Q R$ 的挡光板，用于遮挡阳光，点 $Q$ ， $P$ ， $D$ 都在 $l$ 上，已知 $∠ R P Q = 45 °$ ， $P D = 2 m$ ，如果把挡光板沿 $Q P$ 方向向右平移，但为安全起见，要求 $P R$ 与秋千运动弧线最近点的距离不小于 $0.5 m$ ，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到 $0.1 m$ ）

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20、新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律．
规律一
当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克．
规律二
当每千克蔬菜的售价每降低 $0.5$ 元，每天的销售量就会增加10千克．
经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题．

(1)、【建立模型】
设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式；

(2)、【设计方案】
当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？

(3)、【实际需求】
若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围.

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规律一	当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克．
规律二	当每千克蔬菜的售价每降低 $0.5$ 元，每天的销售量就会增加10千克．