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相关试卷

1、下列关于平面向量的说法中正确的是（）

A、已知 $A (2, 3), B (4, - 3)$ ，点 $P$ 在直线 $A B$ 上，且 $| \vec{A P} | = \frac{3}{2} | \vec{P B} |$ ，则 $P$ 的坐标为 $(\frac{16}{5}, - \frac{3}{5})$ ； B、已知 $O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆圆心， $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A O}, | \vec{A O} | = | \vec{A B} |$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ C、若 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则 $P$ 是 $△ A B C$ 的垂心．

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2、设 $z, z_{1}, z_{2}$ 是复数，则（）

A、若 $| z | = 2$ ，则 $z^{2} = 4$ B、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{2} = \bar{z_{1}}$ C、若 $z_{2} \neq 0$ ，则 $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$ D、若 $z + \bar{z} = 0$ ，则 $z$ 为纯虚数

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3、已三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 是以角 $A$ 为直角的直角三角形， $A B = A C = 2, P B = P C, P A = \sqrt{14}, O_{1}$ 为 $△ A B C$ 的外接圆的圆心， $\cos ∠ P A O_{1} = \frac{\sqrt{7}}{7}$ ，那么三棱锥 $P - A B C$ 外接球的半径为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3}}{6}$

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4、祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h），其中：三棱锥的体积为V，四棱锥的底面是边长为a的正方形，圆锥的底面半径为r，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（）

A、 $a = \frac{3 V}{h}$ ， $r = \frac{3 V}{π}$ ， $\frac{a}{r} = \frac{1}{π}$ B、 $a = \frac{3 V}{h}$ ， $r = \frac{3 V}{π h}$ ， $\frac{a}{r} = π$ C、 $a = \sqrt{\frac{3 V}{h}}$ ， $r = \sqrt{\frac{3 V}{π h}}$ ， $\frac{a}{r} = \frac{1}{\sqrt{π}}$ D、 $a = \sqrt{\frac{3 V}{h}}$ ， $r = \sqrt{\frac{3 V}{π h}}$ ， $\frac{a}{r} = \sqrt{π}$

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5、设 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，点 $D$ 为 $A C$ 的中点，满足 $\vec{D O} = \frac{2}{3} λ \vec{A B} - \frac{1}{2} λ \vec{A C}, λ \in R$ ，若 $|\vec{B C}| = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、2 B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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6、现有甲、乙两组数据，每组数据均由8个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为7，方差为1．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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7、已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出 $α ∥ β$ 的是（）

A、 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m ∥ n$ B、 $m ∥ α$ ， $m ∥ β$ C、 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m ∥ β$ ， $n ∥ β$ D、 $α ⊥ n$ ， $β ⊥ n$

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8、 $△ A B C$ 的三内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{3} a b$ ，则角 $C$ 的大小（）．

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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9、在复平面内，复数 $z = \frac{1 - 3 i}{1 - i}$ ，则 $|z|$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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10、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ ．

(1)、求 $B$ 的大小

(2)、若 $b = 3$ ，求 $△ A B C$ 周长的范围

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11、（1）已知 $(2 x - y + 1) + (y - 2) i = 0$ ，求实数 $x$ 、 $y$ 的值.
（2）设 $z_{1} = 2 + 3 i$ ， $z_{2} = m - i (m \in R)$ ，若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数，求 $m$ 的值.

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12、利用和（差）角公式计算下列各式的值：

(1)、 $\sin 72 ° \cos 42 ° - \cos 72 ° \sin 42 °$ ；

(2)、 $\cos 20 ° \cos 70 ° - \sin 20 ° \sin 70 °$ ；

(3)、 $\frac{1 + \tan 15 °}{1 - \tan 15 °}$

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13、计算：

(1)、 $(- 3 - 4 i) + (2 + i) - (1 - 5 i)$

(2)、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2} i) (- \sqrt{3} + \sqrt{2} i)$

(3)、 $\frac{3 + 2 i}{2 - 3 i} -$ $\frac{3 - 2 i}{2 + 3 i}$

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14、已知钝角 $△ A B C$ 的面积是 $\frac{1}{2}$ ，且 $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则 $A C =$ ．

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15、若复数 $z = 3 - 4 i + | 3 - 4 i |$ ，则 $| z | =$

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16、已知复数 $z = \frac{2 i}{\sqrt{3} + i}$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $| z | = 1$ C、 $z^{3}$ 为纯虚数 D、 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点在第四象限．

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17、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} \in R$ ，则 $z_{1} = {\bar{z}}_{1}$ B、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ C、若 $z_{1} = z_{2}$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ D、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1}|$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 2 z_{1}$

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18、设复数 $z$ 满足 $z + 2 \bar{z} = - 3 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B$ 所对的边分别为 $a, b$ .若 $\sqrt{5} b sin A = 2 sin B$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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20、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则 $5 \vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$

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