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相关试卷

1、对于非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，给出下列结论，其中正确的有（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ ； B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ ； C、 $|\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a} - \vec{c}| \leq |\vec{b} - \vec{c}|$ ； D、 ${|\vec{a} - \vec{b}|}^{2} + {|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = 2 {\vec{a}}^{2} + 2 {\vec{b}}^{2}$

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2、奔驰定理：已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内的一点，若 $△ B O C$ 、 $△ A O C$ 、 $△ A O B$ 的面积分别记为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $S_{1} \cdot \overset{⃑}{O A} + S_{2} \cdot \overset{⃑}{O B} + S_{3} \cdot \overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{0}$ ． “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 $logo$ 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 $O$ 是 $△ A B C$ 的垂心，且 $\overset{⃑}{O A} + 2 \overset{⃑}{O B} + 4 \overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{0}$ ，则 $\cos B =$ ( )

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3、满足 $A = 60^{\circ}, a = \sqrt{10}, b = 4$ （其中 $a, b$ 分别为角 $A, B$ 所对的边）的三角形有（）．

A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个

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4、已知 $\cos (α - β) = 3 \cos (α + β)$ ，则 $\tan α \cdot \tan β$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个非零向量，同时满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $90 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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6、下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $2 sin 15^{\circ} cos 15^{\circ}$ B、 ${cos}^{2} 15^{\circ} - {sin}^{2} 15^{\circ}$ C、 $2 \sin^{2} 15^{\circ}$ D、 $\sin^{2} 15^{\circ} + \cos^{2} 15^{\circ}$

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7、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1), \vec{b} = (- 3, - 4)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 等于（）

A、 $(- 1, 6)$ B、 $(1, 6)$ C、 $(- 1, - 2)$ D、 $(1, - 2)$

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8、三次函数 $f (x) = m x^{3} - x$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是减函数，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 0$ B、 $m < 1$ C、 $m \leq 0$ D、 $m \leq 1$

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9、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过点 $E (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_{1}$ 于A，B两点，点 $D$ 为椭圆的右顶点（A，B，D三点不共线）（如图1）.

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、证明：直线 $A D$ 与 $B D$ 的斜率之积为定值；

(3)、以椭圆 $C_{1}$ 的长轴为旋转轴，将椭圆 $C_{1}$ 旋转 $90 °$ ，得到椭圆 $C_{2}$ （如图2所示，椭圆 $C_{1}$ 在平面 $x o y$ 内，椭圆 $C_{2}$ 在平面 $x o z$ 内），椭圆 $C_{2}$ 上是否存在定点 $P$ ，使得平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A D$ 恒成立？若存在，求 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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10、已知点 $F (- 2, 0)$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一个焦点，且过点 $(2, 3)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的渐近线方程；

(2)、直线 $l : y = x - m$ 与双曲线 $C$ 相交于A，B两点，若 $| A B | = 3 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B F$ 的面积；

(3)、直线 $l^{'} : y = k x + s (k \neq \pm \sqrt{3})$ 与双曲线 $C$ 有唯一公共点 $Q$ ，过点 $Q$ 与直线 $l^{'}$ 垂直的直线分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $M (x, 0), N (0, y)$ ，当 $Q$ 运动时，求点 $G (x, y)$ 的轨迹方程.

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11、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{°}, A B = A C = 2, A A_{1} = 2 \sqrt{2}, N$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $F$ 是 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $C_{1} F ⊥$ 平面 $A_{1} C N$ ；

(2)、求直线BC与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的余弦值.

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12、 $U$ 盘，全称USB闪存驱动器，它是一种使用USB接口的无需物理驱动器的微型高容量移动存储产品，通过USB接口与电脑连接实现即插即用.有一个盒子里装有形状一样，颜色不一样的 $U$ 盘，其中银色 $U$ 盘4个，黑色 $U$ 盘3个，从中任取2个 $U$ 盘.

(1)、求取出的2个 $U$ 盘都是黑色 $U$ 盘的概率；

(2)、如果是4个银色 $U$ 盘， $n$ 个黑色 $U$ 盘 $(n \in N^{*})$ ，已知取出的2个 $U$ 盘都是银色的概率为 $\frac{2}{5}$ ，那么 $n$ 是多少？

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13、已知直线 $l$ 经过两条直线 $2 x + y + 5 = 0$ 和 $x - 2 y - 5 = 0$ 的交点，且垂直于直线 $x - 3 y + 1 = 0$ ，圆 $C$ 经过三点 $(- 2, 0), (2, 0), (1, 1)$ .

(1)、求直线 $l$ 与圆 $C$ 的方程；

(2)、求直线 $l$ 被圆 $C$ 所截得的弦长.

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14、江门市某学校举行数学建模比赛，某比赛小组认为鸡蛋的横截面可以看成由椭圆与圆的部分图象组合而成，在平面直角坐标系中，利用半圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1 (x \geq 0)$ 和半椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1 (x \leq 0)$ 围成了一个封闭的图形模拟鸡蛋的横截面（图1），点 $F$ 为半椭圆 $C_{2}$ 的焦点，过原点 $O$ 的直线 $l$ 交 $C_{1}$ 于点 $A$ ，交 $C_{2}$ 于点 $B$ ，则|AB|的最大值为；点 $P$ 是 $C_{2}$ 上一点，点N是半圆与 $x$ 轴的交点（如图2所示），点 $M (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ ，则 $| P N | + | P M |$ 的最大值为.

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15、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $A (2, 6, 4)$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $B$ ，点 $C (1, 1 - 2 m, 2)$ 关于 $y O z$ 平面的对称点为 $D$ ，若 $\vec{O B} // \vec{O D}$ ，则 $m =$ .

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16、数据9，15，13，11，12的方差是.

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17、已知单位向量 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ 两两的夹角均为 $θ (0 < θ < π, θ \neq \frac{π}{2})$ ，若空间向量 $\vec{a}$ 满足 $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} (x, y, z \in R)$ ，则有序实数组 $(x, y, z)$ 称为向量 $\vec{a}$ 在“仿射”坐标系 $O - x y z$ （ $O$ 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作 $\vec{a} = (x, y, z) θ$ ，则下列命题是真命题的为（）

A、若 $\vec{a} = (2, d, 1) \frac{2 π}{3}, \vec{b} = (2, 3, 0) \frac{2 π}{3}, \vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $d = \frac{3}{4}$ B、若 $\vec{a} = (0, \sqrt{2}, 4) \frac{3 π}{4}$ ，则 $| \vec{a} | = \sqrt{26}$ C、若 $\vec{O A} = (- 1, 1, 3) θ, \vec{O B} = (1, 1, 3) θ, \vec{O C} = (1, 1, - 1) θ, \vec{O P} = (3, 1, 1) θ$ ，则不论 $θ$ 取何值， $P, A, B, C$ 四点都共面 D、若 $\vec{O A} = (1, 1, - 1) \frac{π}{3}, \vec{O B} = (1, - 1, 1) \frac{π}{3}, \vec{O C} = (- 1, 1, 1) \frac{π}{3}$ ，则点 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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18、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，O为原点，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $C$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线 $C$ 的准线方程是 $x = - 1$ B、若 $| P F | = 4$ ，则 $y_{0} = 3$ C、过点 $M (1, 1)$ 的直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $M$ 是线段 $A B$ 的中点，则 $| A B | = \sqrt{15}$ D、点 $Q$ 是直线 $y = - x - 3$ 上一动点，则|PQ|的最小值是 $\sqrt{2}$

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19、一家水果店的店长为了解本店大泽脐橙的日销售情况，记录了过去10天大泽脐橙的日销售量（单位：kg），结果如下：
$\begin{array}{l} 93 & 106 & 117 & 101 & 80 & 85 & 104 & 90 & 90 & 116 \end{array}$
下列说法正确的是（）

A、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的中位数为93 B、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的平均数大于98 C、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的极差为37 D、该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的第70百分位数为104

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20、如图，在棱长为 $1$ 的正四面体（四个面都是正三角形） $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $B C$ ， $A D$ 的中点，且 $\vec{M A}$ 在 $\vec{C N}$ 方向上的投影向量为 $μ \vec{C N}$ ，则 $μ$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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