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相关试卷

1、众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位： $t$ ），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为 $p$ ，中位数为 $m$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，则（）

A、 $m < p < \bar{x}$ B、 $p < \bar{x} < m$ C、 $m < \bar{x} < p$ D、 $p < m < \bar{x}$

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2、已知向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (1, 1)$ ，若 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直.则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 2$ D、 $2$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{4} = \frac{1}{16}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前6项和为（）

A、 $\frac{63}{64}$ B、 $\frac{31}{32}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、 $\frac{7}{8}$

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4、若复数 $z$ 满足 $z i = 1 + i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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5、下列命题是真命题的是（）

A、命题“ $\exists x > y$ ， $x^{2} > y$ ”，的否定是“ $\forall x > y$ ， $x^{2} \leq y$ ” B、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 是同一个函数 C、不等式 $\frac{x - 3}{x + 5} \leq 0$ 的解集为 $[- 5, 3]$ D、若 $3 < a < 6$ ， $- 1 < b < 3$ ，则 $- 3 < a - 2 b < 8$

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6、已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 1$ 的解集为 $(m, m + 2)$ ，则函数 $f (x)$ 的值域为（）

A、 $[\frac{5}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[0, + \infty)$

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7、函数 $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{0}}{\sqrt{2 x - 1}}$ 的定义域是（）

A、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2}, 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2}, 1) \cup (1, + \infty)$

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8、如图所示，正方形 $A B C D$ 所在平面与梯形 $A B M N$ 所在平面垂直， $M B // A N$ ， $N A = A B = 2$ ， $B M = 4$ ， $C N = 2 \sqrt{3}$

(1)、证明： $D N //$ 平面 $B C M$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $C D M$ 所成角的正弦值；

(3)、在线段 $C M$ 上是否存在一点 $E$ ，使得平面 $B E N$ 与平面 $B M N$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若存在求出 $\frac{C E}{E M}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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9、椭圆 $C$ 的中心是原点 $O$ ，焦点为 $F (c, 0) (c > 0)$ ，短轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、如果过点 $M (3, 0)$ 的直线与椭圆相交于点 $P, Q$ 两点，且 $O P ⊥ O Q$ ，求直线 $P Q$ 的方程.

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10、溺水､校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，乙队每人回答问题正确的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.

(1)、求甲队总得分为1分的概率；

(2)、求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.

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11、已知圆心为 $C$ 的圆经过 $A (1, 1)$ 和 $B (2, - 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $l : x - y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆C的方程：

(2)、若直线 $2 x + y = 0$ 与圆的交点为 $M, N$ 两点，求 $|M N|$ .

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12、已知向量 $\vec{a} = (- 2, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1, 2)$ ， $\vec{c} = (x, 2, 2)$ ．

(1)、当 $| \vec{c} | = 3$ 时，若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 垂直，求实数 $x$ 和 $k$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{c}$ 与向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共面，求实数 $x$ 的值．

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，且 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，过 $P$ 作 $F_{1} P$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $A$ ，若 $|A F_{2}| = \frac{1}{2} c$ ，记椭圆的离心率为 $e$ ，则 $e^{2} =$ .

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14、已知平面 $α$ 内一点 $P (8, 9, 5)$ ，点 $Q (1, 2, 2)$ 在平面 $α$ 外，若 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (4, 3, - 12)$ ，则 $Q$ 到平面 $α$ 的距离为．

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15、已知 $\vec{a} = (1, 1, \sqrt{2})$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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16、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2， $E$ 为边 $A D$ 的中点，把 $△ B A E$ 和 $△ C D E$ 分别沿 $B E$ ， $C E$ 折起.使得 $A$ ， $D$ 两点重合为一点 $P$ .下列四个命题正确的是（）

A、 $P E ⊥$ 平面 $P B C$ B、直线 $P E$ 与直线 $B C$ 所成的角为 $60 °$ C、二面角 $P - B C - E$ 的大小为 $30 °$ D、点 $P$ 到平面 $B C E$ 的距离为 $\sqrt{3}$

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17、伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币 $n$ 次，记录这 $n$ 次实验的结果，设事件 $M$ 表示“ $n$ 次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件 $N$ 表示“ $n$ 次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（）．

A、若 $n = 2$ ，则 $M$ 与 $N$ 不互斥 B、若 $n = 2$ ，则 $M$ 与 $N$ 不相互独立 C、若 $n = 3$ ，则 $M$ 与 $N$ 相互独立 D、若 $n = 3$ ，则 $M$ 与 $N$ 互斥

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18、下列命题不正确的是（）

A、若A，B，C，D是空间任意四点，则有 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A}$ = $\vec{0}$ B、“ $|\vec{a}| - |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ”是“ $\vec{a}, \vec{b}$ 共线”的充要条件 C、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所在直线平行 D、对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面

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19、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为6，点 $M$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $P$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上的动点，满足 $B P ⊥ A M$ 的点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $2 \sqrt{2} π$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3} π$

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20、孪生素数（素数是只有1和自身因数的正整数）猜想是希尔伯特在1900年正式提出的23个问题之一，具体为：存在无穷多个素数 $p$ ，使得 $p + 2$ 是素数，素数对 $(p, p + 2)$ 称为孪生素数，在不超过20的素数中随机选取2个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是（）

A、 $\frac{4}{25}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{3}{28}$ D、 $\frac{1}{7}$

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