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1、下列说法命题正确的是（）

A、在空间直角坐标系中，已知点 $A (2, 3, - 5), B (0, - 2, - 2), C (- 2, - 5, 1)$ ，则 $A, B, C$ 三点共线 B、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (3, 0, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 9, 0, 3)$ ，则 $l$ $∥$ $α$ C、已知 $\vec{a} = (0, 1, 4), \vec{b} = (\sqrt{3}, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \vec{b}$ D、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点 $P$ 为平面 $A B C$ 上的一点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + m \vec{O B} + n \vec{O C} (n, m \in R)$ ，则 $m + n = \frac{1}{2}$

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2、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ ， $A$ ， $B$ 都在椭圆 $E$ 上，若 $\vec{P F_{1}} = λ \vec{F_{1} A}$ ， $\vec{P F_{2}} = μ \vec{F_{2} B}$ ，且 $λ + μ \geq 4$ ，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1)$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $(0, \frac{1}{3}]$

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3、已知 $⊙ M : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，直线 $l : 2 x + y + 2 = 0$ ， $P$ 为 $l$ 上的动点.过点 $P$ 作 $⊙ M$ 的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，当四边形 $P A M B$ 面积最小时，直线 $A B$ 的方程为（）.

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x + y + 1 = 0$ D、 $2 x - y + 1 = 0$

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4、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线经过点 $M (4, 3)$ ，则此双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$

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5、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是正方形，且 $A B = 2$ ， $P A ⊥ P B$ .四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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6、设 $O$ 为坐标原点，直线 $y = - \sqrt{3} (x - 1)$ 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若直线 $l$ 为 $C$ 的准线，则（）

A、 $p = 4$ B、 $|M N| = \frac{16}{3}$ C、以 $M N$ 为直径的圆与 $l$ 相切 D、 $△ O M N$ 为等腰三角形

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7、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），则下列说法正确的有（）

A、 $y = f (x) \cdot g (x)$ 是奇函数 B、 ${[f (x)]}^{2} + {[g (x)]}^{2} = f (2 x)$ C、若方程 $|f (x) + g (x) - 1| + 1 = a$ 有且仅有一个解，则a的取值范围是 $[2, + \infty) \cup \{1\}$ D、函数 $F (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ，若存在 $x \in (1, 8)$ ，使 $F (m) < F [{log}_{2} \frac{x}{4} \cdot {log}_{2} (2 x)]$ 成立，则 $m < 4$

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8、已知集合 $A$ 中含有三个元素 $x, y, z$ ，同时满足① $x < y < z$ ；② $x + y > z$ ；③ $x + y + z$ 为偶数，那么称集合 $A$ 具有性质 $P$ .已知集合 $S_{n} = \{1, 2, 3, \dots, 2 n\}$ $(n \in N^{*}, n \geq 4)$ ，对于集合 $S_{n}$ 的非空子集 $B$ ，若 $S_{n}$ 中存在三个互不相同的元素 $a, b, c$ ，使得 $a + b, b + c, c + a$ 均属于 $B$ ，则称集合 $B$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”.

(1)、试判断集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(2)、若集合 $B = \{3, 4, a\}$ 具有性质 $P$ ，证明：集合 $B$ 是集合 $S_{4}$ 的“期待子集”；

(3)、证明：对于 $S_{n}$ 的非空子集 $M$ ，集合 $M$ 具有性质 $P$ 的充要条件是集合 $M$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”.

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9、两社区 $A$ 和 $B$ 相距2km，现计划在两社区外以 $A B$ 为直径的半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ （不含 $A$ ， $B$ 两点）上选择一点 $C$ 建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区 $A$ 的噪音影响度是所选地点到社区 $A$ 的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区 $B$ 的噪音影响度是所选地点到社区 $B$ 的距离的平方的反比例函数，比例系数为 $K$ ，对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度为对社区 $A$ 和社区 $B$ 的噪音影响度之和.记 $C$ 点到社区 $A$ 的距离为 $x km$ ，建在 $C$ 处的口袋公园对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度为 $y$ .统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点时，对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度为0.05.

(1)、将 $y$ 表示成 $x$ 的函数；

(2)、判断半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区 $A$ 和社区 $B$ 的总噪音影响度最小？若存在，求出该点到社区 $A$ 的距离；若不存在，说明理由.

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10、在 $△ A B C$ 中， $C A = 2$ ， $A B = 3$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $D$ 为 $B C$ 的三等分点（靠近 $C$ 点）．

(1)、求 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值；

(2)、若点 $P$ 满足 $\vec{C P} = λ \vec{C A}$ ，求 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最小值，并求此时的 $λ$ ．

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11、设函数 $f (x) = \lg [(2 x - 3) (x - \frac{1}{2})]$ 的定义域为集合A，函数 $g (x) = \sqrt{- x^{2} + 4 a x - 3 a^{2}}$ 的定义域为集合B (其中 $a \in R$ ，且 $a > 0$ ) .
(1)当 $a = 1$ 时，求集合 $A \cap B$ ；
(2)若 $A \cap B = B$ ，求实数a的取值范围.

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12、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = 3$ ， $2 \vec{a} \cdot \vec{b} - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = 0$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ 与 $\vec{b} - \vec{c}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $| \vec{c} - \vec{a} | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的最大值是.

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13、已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}, g (x) = a x + 1 (a > 0)$ ，若对 $\forall x_{1} \in [1, 2]$ ，总 $\exists x_{2} \in [1, 6]$ 使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为 .

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14、已知函数 $f (x) = - x + 6$ ， $g (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 6$ ，若 $h (x) = \min {f (x), g (x)}$ ，则 $h (x)$ 的最大值为.

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15、若 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $b - 2 a + 4 a \sin^{2} \frac{A + B}{2} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、角C可以为锐角 B、 $a^{2} + 2 b^{2} - c^{2} = 0$ C、 $\tan B$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $3 \tan A + \tan C = 0$

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16、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 6$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 2$ ，则 $|\vec{a} - λ \vec{b}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、4

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17、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2}), cos (α - β) = \frac{5}{6}, tan α \cdot tan β = 4$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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18、函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2^{|x|} - 4}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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19、已知 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”是“ $\ln a > \ln b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、设复数 $z$ 满足 $z (1 + i^{2023}) = 2$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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