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相关试卷

1、定义：已知集合 $M = {x | 2 a - 3 < x < 2 a} (a \geq 0)$ ， $\forall x \in M$ ， $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ ，则称 $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ 为“有界恒正不等式”.
（1）当 $a = 4$ 时，判断 $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ 是否为“有界恒正不等式”；
（2）设 $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ 为“有界恒正不等式”，求 $a$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、当 $x \in [1, + \infty)$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(2)、若不等式 $f (1 + 2 x^{2}) > f (x^{2} - 2 x + 4)$ 成立，求实数x的取值范围．

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3、某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，地面面积为5平方米，地面费用总价为五千元．现需要对母婴室外墙正面和屋顶进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为1500元，屋顶造价一万元；母婴室外墙侧面普通装修即可，每平方米造价600元；母婴室墙高3米，不计母婴室背面费用．

(1)、若游乐场母婴室正面长设为x米，请用x表示该游乐场母婴室的总造价 $W ($ 元 $) ；$

(2)、如何设计能使得该游乐场母婴室的总造价最低？最低总造价为多少？

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4、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + 3 f (- x) = 2 x - 1 ．$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $g (x) = - x f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上的值域．

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5、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | x^{2} - 3 x - 10 \geq 0\}$ ， $B = \{x | a - 1 \leq x \leq a + 2\}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ， $(∁_{U} A) \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求a的取值范围．

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6、已知函数 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[2, 3]$ ，则函数 $f (x + 1)$ 的定义域为．

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7、请写出命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 3 x - 10 > 0$ ”的否定：．

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8、设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是（）

A、a＋b＋ $\frac{1}{\sqrt{a b}}$ ≥2 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 a b}{a + b}$ ≥ $\sqrt{a b}$ C、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{\sqrt{a b}}$ ≥a＋b D、(a＋b) $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ ≥4

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9、已知函数 $f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ ， $x \neq 0$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ D、 $f (\frac{1}{x}) = \frac{1}{f (x)}$

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10、下列各组函数中是同一函数的是（）

A、 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ 与 $h (x) = \frac{x^{2}}{x}$ B、 $f (x) = |x|$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $n (x) = x^{2} + 8 x + 15$ 与 $u (x) = (x + 3) (x + 5)$ D、 $v (x) = x^{2}$ 与 $m (x) = \sqrt[3]{x^{6}}$

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11、已知 $\emptyset \neq A \subseteq Z$ ，对于 $k \in A$ ， $k - 1 \notin A$ 且 $k + 1 \notin A$ ，则称 $k$ 为 $A$ 的“孤立元”．给定集合 $A = {x \in N^{*} | - 1 < x \leq 5}$ ，则 $A$ 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（）

A、5 B、7 C、13 D、15

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12、 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，满足 $2 f (x) - f (\frac{1}{x}) = 2 x + 1$ ，则 $f (x)$ 的最小值为（）

A、 $1 + \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $1 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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13、幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(3, 9)$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数 B、偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 C、奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数 D、非奇非偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数

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14、方程 $a x^{2} + 5 x + 4 = 0 (a \neq 0)$ 有两个异号实根的一个充要条件是（）

A、 $a < 0$ B、 $a > 0$ C、 $a < 2$ D、 $a < - 1$

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15、下列命题为真命题的是（）

A、若 $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ B、集合 $A = {x | y = x^{2} + 1}$ 与集合 $B = {y | y = x^{2} + 1}$ 是相同的集合 C、任意一个三角形，它的内角和大于或等于 $180^{\circ}$ D、所有的素数都是奇数

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16、若 $a, b \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a \neq b$ ，则 $a^{2} \neq b^{2}$ C、若 $a < |b|$ ，则 $a^{2} < b^{2}$ D、若 $a > |b|$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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17、设全集 $U = \{x \in N |- 2 \leq x \leq 4\}$ ， $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{2, 3\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{0, 4\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 4\}$

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18、已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在空间任取一点 $O$ ，作 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $∠ A O B$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，记作 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ ．定义 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的“向量积”为： $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，它与向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都垂直，它的模 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ ．如图，在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B = 2$ ，且 $|\vec{B C} \times \vec{S D}| = 2 \sqrt{7}$ ．

(1)、求正四棱锥 $S - A B C D$ 的体积 $V$ ；

(2)、若 $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S D ⊥$ 平面 $P A C$ ，求平面 $P A C$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值；

(3)、若点 $E$ 是侧棱 $S C$ （包含端点）上的一个动点，当直线 $D E$ 与平面 $B C E$ 所成角最大时，求 $S E : E C$ 的值．

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19、已知曲线M是平面内到 $(1, 0)$ 和 $(- 1, 0)$ 的距离之和为4的点的轨迹．

(1)、求曲线M的方程；

(2)、过点 $F (1, 0)$ 作斜率不为0的直线l交曲线M于 $A, B$ 两点，交直线 $x = 4$ 于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C点，直线BQ交x轴于D点，求线段CD中点的坐标．

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20、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形且垂直于底面 $A B C D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = 90 °$ ， E是PD的中点．

(1)、证明： $C E //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当点 $M$ 为棱 $P C$ 中点时，求直线 $A M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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