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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (x - a) ln x - x ， a \in R .$

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、设 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是 $f (x)$ 的两个极值点，证明：
(i) $ln x_{1} + ln x_{2} < - 2$ ；
(ii) $x_{2} - x_{1} < e^{- 2} + 2 a + 1.$

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的方程为： ${(x + \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ ，定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ ， B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T.

(1)、求点 $T$ 的轨迹 $W$ 的方程；

(2)、轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 $k_{1}$ ， NQ的斜率为 $k_{2}$ 且 $k_{1} = 3 k_{2}$ ， $△ M P Q$ 与 $△ N P Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $|S_{1} - S_{2}|$ 的最大值.

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3、如图，圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中， $A B$ 是底面圆 $O_{2}$ 上的一条直径， $P$ ， $Q$ 分别是底面 $O_{2}$ ， $O_{1}$ 圆周上的一点， $P Q // O_{1} O_{2}$ ， $A B = 2 P Q$ ，且点 $P$ 不与 $A$ ， $B$ 两点重合.

(1)、证明：平面 $A P Q ⊥$ 平面 $B P Q$ ；

(2)、若二面角 $A - O_{1} O_{2} - P$ 为 $60 °$ ，求直线 $B Q$ 与平面 $P Q O_{1}$ 所成角的正弦值.

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4、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a - b \cos C = \frac{\sqrt{3}}{3} c \sin B, a = 2, c = 6$ ， D为边 $A C$ 上的靠近点C的三等分点．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、求 $|B D|$ ．

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5、不等式 $e^{2 x} + 3 a^{2} x \geq a e^{x} (3 + x)$ 对任意 $x \in [1, + \infty)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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6、已知 $y = \ln (\frac{a}{x - 2} + 1)$ 为奇函数，则实数a的值是．

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n} ，$ 若 $a_{4} + a_{12} = a_{8} + 2 ，$ 则 $S_{15} =$

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8、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A, B$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支交于 $P, Q$ 两点( $P$ 在第一象限)， $P Q$ 中点为 $M$ ， $△ P F_{1} F_{2}, △ Q F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心分别为 $I_{1}, I_{2}$ ，半径分别为 $r_{1}, r_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $I_{1}, B, I_{2}$ 三点共线 B、直线 $l$ 斜率存在时， $k_{P Q} \cdot k_{O M} = 3$ C、若 $r_{1} = 2 r_{2}$ ，则直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{6}$ D、 $r_{1} + r_{2}$ 的取值范围是 $[2, \frac{4 \sqrt{3}}{3})$

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9、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C} ，$ 则下列说法正确的是（）

A、若 $0 < λ < 1, 0 < μ < 1, 0 < λ + μ < 1$ ，则M在 $△ A B C$ 内部 B、若 $λ = μ = \frac{1}{3}$ ，则M为 $△ A B C$ 的重心 C、若 $λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{1}{3}$ ，则 $△ A M C$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{1}{3}$ D、若 $b = 2, c = 3, ∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， M为 $△ A B C$ 外接圆圆心，则 $λ + μ = \frac{11}{18}$

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10、设 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的极差为 $X$ ，平均值为 $x$ ，中位数为m，方差为 $s$ ， $y_{i} = a x_{i} + b (i = 1, 2, \dots, n)$ ，其中 $a, b \in R, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 的极差为 $Y$ ，平均值为 $y$ ，中位数为 $p$ ，方差为 $t$ ，则（）

A、 $Y = a X + b$ B、 $y = a x + b$ C、 $p = a m + b$ D、 $t = a s + b$

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11、设正整数 $n = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2 + \dots + a_{k - 1} \cdot 2^{k - 1} + a_{k} \cdot 2^{k}$ 其中 $a_{i} \in \{0, 1\}$ ，记 $w (n) = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{k - 1} + a_{k}$ ，则下列说法错误的是（）.

A、ω(10)=2. B、ω(16n+5)=ω(4n+3). C、ω(8n+5)=ω(4n+5). D、若n<256且ω(n)=3，则符合条件的n有56个.

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12、已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（）

A、 $\frac{16}{45}$ B、 $\frac{29}{45}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{4}{5}$

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13、已知抛物线 $C : y = \frac{x^{2}}{4}$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $M$ .若 $| M F | = | P F |$ ，则 $| P F | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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14、已知 $A$ 为 $△ A B C$ 的一个内角，且 $\tan (A + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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15、函数 $f (x) = \frac{x^{3} + \sin x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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16、已知 $\frac{4}{z} = 1 - i$ （ $i$ 为虚数单位)，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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17、已知集合 $A = {x | x^{2} < 4}, B = {x | \lg (x - 1) < 1}$ ，那么集合 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 11)$ C、 $(- 2, 11)$ D、 $(1, 11)$

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18、在平面直角坐标系中，将函数 $y = f (x)$ 的图像绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数 $y = f (x)$ 为“ $G$ 函数”.若函数 $f (x) = \frac{k (x + 1)}{e^{x}}$ 为“ $G$ 函数”，则实数 $k$ 的取值范围是.

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19、甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则 $P (A |B) =$ .

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20、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F (- 1, 0)$ ，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点， $△ A O B$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，则F到双曲线的渐近线距离为.

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