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相关试卷

1、若函数 $f (x)$ 在定义域 $R$ 上满足 $f (x) + f (y) = f (x + y)$ ，且 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，定义域为 $[- 2, 2]$ 的 $g (x)$ 为偶函数.

(1)、求证：（i）函数 $f (x)$ 为奇函数；
（ii）函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增；

(2)、若在区间 $[- 1, 1]$ 上 $f (x) + g (x) = - x^{2} + x + 1$ ； $g (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的图象关于点 $(1, 0)$ 对称.求函数 $f (x)$ 和函数 $g (x)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上的解析式.

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2、二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 满足对任意的 $x \in R$ ， $x - 1 \leq f (x) \leq x^{2} - x$ 恒成立．

(1)、求证： $f (1)$ 为定值；

(2)、若 $f (0) = - \frac{1}{4}$ ，求二次函数 $f (x)$ 的表达式；

(3)、求 $a + 2 b + 5 c$ 的取值范围．

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3、已知 $f (x)$ 是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数，又 $f (2) = 0$ ，则 $\frac{f (x - 1)}{x} < 0$ 的解集为.

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4、某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入 $P$ 与店面经营天数 $x$ 的关系是 $P (x) = \{\begin{array}{l} 300 x - \frac{1}{2} x^{2}, 0 ⩽ x < 300 \\ 45000, x ⩾ 300 \end{array}$ ，则总利润最大时店面经营天数是.

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5、已知奇函数 $f (x)$ 与偶函数 $g (x)$ 的定义域、值域均为 $R$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) + g (x)$ 是奇函数 B、 $f (x) |g (x)|$ 是奇函数 C、 $f (x) g (x)$ 是偶函数 D、 $f (g (x))$ 是偶函数

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6、已知 $b > a > 0$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $\frac{2 b}{a + b} < 1$ B、 $\frac{2 a b}{a + b} < \frac{a + b}{2}$ C、 $\frac{b + 2}{a + 2} > \frac{b}{a}$ D、 $\frac{2 a b}{a + b} < \sqrt{a b}$

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7、已知集合 $A = \{x \in R ∣ x^{2} + 1 = 0\}, B = \{\emptyset\}$ ，则（）

A、 $A = \emptyset$ B、 $A = B$ C、 $A \neq B$ D、 $A \subseteq B$

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8、已知函数 $f (x + 1)$ 是偶函数， $\forall x_{1}, x_{2} \in (1, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) < 0$ 恒成立，设 $a = f (- \frac{1}{2})$ ， $b = f (2)$ ， $c = f (3)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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9、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + a x, x < 1 \\ (6 - a) x - a, x \geq 1 \end{array}$ ，满足对任意实数 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(1, 2)$ C、 $[2, 6)$ D、 $[2, \frac{7}{3}]$

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10、已知函数 $f (x) = (m^{2} - 4 m + 5) x^{m}$ $(m \in R)$ 为幂函数，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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11、四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A D = C D = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 1$ ， $N$ 为 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $D N / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求点 $N$ 到平面 $P A B$ 的距离；

(3)、在线段 $P D$ 上，是否存在一点 $M$ ，使得平面 $M A C$ 与平面 $A C D$ 的夹角为 $45 °$ ？如果存在，求出 $B M$ 与平面 $M A C$ 所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.

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12、设直线 $l_{1} : x - 2 y - 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : (3 - m) x + m y + m^{2} - 3 m = 0$ .

(1)、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，求 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的距离；

(2)、求直线 $l_{2}$ 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大时的直线 $l_{2}$ 的方程.

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13、已知空间三点 $A (0, 2, 3)$ ， $B (- 2, 1, 6)$ ， $C (1, - 1, 5)$ .

(1)、求以 $A B$ ， $A C$ 为邻边的平行四边形的面积；

(2)、若向量 $\vec{a}$ 分别与 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 垂直，且 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ，求向量 $\vec{a}$ 的坐标.

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14、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程 $x^{2} - 2 \sqrt{3} x + 2 = 0$ 的两根， $2 \cos (A + B) = 1$ .
（1）求角 $C$ 的度数；
（2）求 $A B$ 的长.

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15、已知直线 $l : x - 2 y - 2 = 0$ .

(1)、求过点 $M (3, 2)$ 与直线 $l$ 平行的直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、求过点 $M (3, 2)$ 与直线 $l$ 垂直的直线 $l_{2}$ 的方程.

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16、已知直线 $l_{1} : x - m y - 2 = 0$ 过定点 $A$ ，直线 $l_{2} : m x + y + 2 = 0$ 过定点 $B$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $C$ ，则 $|A C| + |B C|$ 的最大值为.

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17、已知直线 $l$ 在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距互为相反数且过点 $(1, 2)$ ，则这条直线的方程为.

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18、已知 $\vec{a} = (- 4, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 2)$ ，向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则实数 $k$ 的值为.

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19、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 45 °$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，则（）

A、 $\vec{A D_{1}} ∥ (\vec{B_{1} B} + \vec{B C})$ B、 ${(\vec{A_{1} A} + \vec{A_{1} D_{1}} - \vec{A_{1} B})}^{2} = 3 {\vec{A_{1} B_{1}}}^{2}$ C、 $\vec{A C_{1}} \cdot (\vec{A_{1} B_{1}} - \vec{A D}) = 0$ D、 $|\vec{A C_{1}}| = 3$

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20、已知函数 $f (x) = 3 sin x cos x + 3 \sqrt{3} {sin}^{2} x - \frac{3 \sqrt{3}}{2} + 1$ ，下列命题正确的有（）

A、由 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 1$ 可得 $x_{1} - x_{2}$ 是 $π$ 的整数倍 B、 $y = f (x)$ 的表达式可改写成 $f (x) = 3 cos (2 x - \frac{5 π}{6}) + 1$ C、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{4}, 1)$ 对称 D、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称

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