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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{\cos C}{c} = \frac{\cos A}{3 b - a}$ ，则 $\tan C =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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2、如图所示， $△ A B C$ 是直角三角形， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，点D是斜边 $B C$ 的中点，点E是线段 $A D$ 靠近点A的三等分点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、 $- \frac{29}{3}$ B、 $- \frac{19}{3}$ C、0 D、 $\frac{11}{6}$

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3、已知 $α$ 是第二象限角，且 $3 \sin α + 4 \cos α = 0$ ，则 $tan \frac{α}{2} =$ （）

A、 $2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4、已知点 $A (- 1, 2)$ ， $B (2, y)$ ，向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ，若 $\vec{A B}$ ⊥ $\vec{a}$ ，则实数y的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、7 D、 $- 4$

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5、如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形 $A B C$ ，将剩余部分绕着直径 $A B$ 所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点 $C$ 为半圆弧的中点，该几何体的体积为.

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6、已知直线 $l_{1}$ ： $(a - 3) x + (4 - a) y + 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $2 x - 3 y + 2 = 0$ 平行，则 $a =$ .

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7、已知函数 $f (x) = \sin x - \cos x$ ．

(1)、求方程 $f (α) = \cos 2 α$ 在 $[0, 2 π]$ 上的解集；

(2)、设函数 $F (x) = f (x) + 2 \ln x,$ $x \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ．
①求 $y = F (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上的零点个数；
②记函数 $y = F (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，证明： $- \frac{1}{2} < \ln x_{0} + \frac{1}{4} \sin 2 x_{0} < \frac{1}{4}$ ．

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8、海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位 $y$ （单位： $m$ ）是时间 $t (0 \leq t \leq 24$ ，单位： $h)$ 的函数，记作 $y = f (t)$ ，下面是某天水深的数据：
$t$
0
3
6
9
12
15
18
21
24
$y$
2
1.5
1
1.5
2
1.5
1
1.5
2
经长期观察， $y = f (t)$ 的曲线可近似的满足函数 $y = A sin (ω x + φ) + b (A > 0, ω > 0)$ .

(1)、根据表中数据，作出函数简图，并求出函数 $y = f (t)$ 一个近似表达式；

(2)、一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？

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9、正割（secant）及余割（cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入． $sec,csc$ 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割 $secα ＝ \frac{1}{cosα}$ ，余割 $cscα = \frac{1}{sinα}$ ．已知 $m$ 为正实数，且 ${sec}^{2} x + m {csc}^{2} x \geq 9$ 对任意的实数 $x (x \neq \frac{k π}{2}, k \in Z)$ 均成立，则 $m$ 的最小值为．

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10、已知 $x, y \in [0, \frac{π}{4}]$ ，且 $\sin x + \cos y = 1$ ， $\cos x + \sin y = \sqrt{2}$ 则 $\sin (x + y) =$ ．

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11、已知 $\cos (\frac{π}{6} - α) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\sin (\frac{4 π}{3} + α) =$ ．

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12、下列各式中，值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $\sin \frac{13 π}{6}$ B、 $2 \sin \frac{π}{12} \cos \frac{π}{12}$ C、 $2 \cos^{2} \frac{π}{12} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \tan \frac{7 π}{6}$

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13、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，若方程 $f (x) = a (a > 0)$ 在 $(0, π)$ 的解为 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且 $sin (x_{1} - x_{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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14、如图所示，两动点 $P, Q$ 在以坐标原点 $O$ 为圆心，半径为1的圆上从点 $A (1, 0)$ 处同时出发做匀速圆周运动．已知点 $P$ 按逆时针方向每秒钟转 $α$ 弧度，点 $Q$ 按顺时针方向每秒钟转 $β$ 弧度 $(0 < α < β < π)$ ，且 $P, Q$ 两点在第2秒末第一次相遇于点 $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 处，则它们从出发后到第2次相遇时，点 $P$ 走过的总路程为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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15、分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示.已知某勒洛三角形的周长是 $6 π$ ，则该勒洛三角形的面积是（）

A、 $18 π - 18 \sqrt{3}$ B、 $18 π + 18 \sqrt{3}$ C、 $18 π - 18$ D、 $18 π + 18$

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16、在斜三角形ABC中，“ $A < B$ ”是“ $\tan A < \tan B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知点 $P (m, - 1)$ 在角 $α$ 的终边上，若 $c o s α = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，则（）

A、 $m = 3$ B、 $α$ 为第二象限的角 C、 $sin α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\tan α = \frac{1}{3}$

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18、已知 $α$ 是第二象限角且 $sin α = \frac{3}{5}$ ， $2 sin β - cos β = 0$ ，则 $tan (α - β)$ 的值为（）

A、1 B、－1 C、－2 D、 $\frac{2}{11}$

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19、计算 $\sin 20^{\circ} \cos 70^{\circ} - \cos 160^{\circ} \sin 70^{\circ}$ 的值等于（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\sin 50^{\circ}$ D、 $- \sin 50^{\circ}$

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20、与 $- 465 °$ 角终边相同的角的集合是（）

A、 $\{α ∣ α = 465 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$ B、 $\{α ∣ α = 105 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$ C、 $\{α ∣ α = 255 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$ D、 $\{α ∣ α = 75 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$

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$t$	0	3	6	9	12	15	18	21	24
$y$	2	1.5	1	1.5	2	1.5	1	1.5	2