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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (x, 2 - x)$ ， $\vec{b} = (y, \frac{4}{y})$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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2、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且满足 $\sin (\frac{π}{6} - α) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{12}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$

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3、苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为 $2 a$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π a^{3}$ B、 $\sqrt{3} π a^{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π a^{3}$ D、 $4 \sqrt{3} π a^{3}$

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4、已知复数 $z_{1}$ 与 $z = 2 - 4 i$ 在复平面内对应的点关于实轴对称，则 $\frac{z_{1}}{1 - i} =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $3 - i$ D、 $3 + i$

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5、已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x^{2} < 5\}$ ， $B = {- 1, 0, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0}$ B、 ${0, 2}$ C、 ${0, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 2}$

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6、已知定义域为 $R$ 的单调减函数 $f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{3} - 2^{x}$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，虚轴长为4.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = m x + 1$ 与双曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $△ A O B$ 的面积是 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ D C, A B$ $/ /$ $D C$ ， $A B = \frac{1}{2} C D = A D = 1, M$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P D = 1$ ，求平面 $P D M$ 和平面 $B D M$ 夹角的余弦值.

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9、已知 $A (1, 2) ､ B (3, 6)$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 4$ ，设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、求过点 $A (1, 2)$ 且与曲线 $C$ 相切的直线的方程.

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}, O$ 为坐标原点，若在 $C$ 的右支上存在关于 $x$ 轴对称的两点 $P, Q$ ，使得 $△ P F_{1} Q$ 为正三角形，且 $O Q ⊥ F_{1} P$ ，则 $C$ 的离心率为.

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11、已知空间中的三点 $A (- 2, 0, 2), B (- 1, 1, 2), C (- 3, 0, 4)$ ，则点 $B$ 到直线 $A C$ 的距离为．

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12、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1} = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，则（）

A、 $B F ⊥ D E$ B、该三棱柱的体积为4 C、过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $E$ 三点截该三棱柱的截面面积为 $\sqrt{5}$ D、直线 $D E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值的最大值为 $\frac{1}{2}$

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13、已知直线l： $x - y + 5 = 0$ 与圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 7 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、点 $A (3, 1)$ 在圆C外 B、直线l与圆C相离 C、点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则 $|P Q|$ 的取值范围是 $[\sqrt{2}, + \infty)$ D、将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 $\sqrt{2}$

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14、已知直线 $l_{1} : 3 x + a y + 1 = 0, l_{2} : (a + 2) x + y + a = 0$ ，（）

A、当 $a = \sqrt{3}$ 时，直线 $l_{1}$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ B、当 $a = - \frac{3}{2}$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ C、若 $l_{1}$ $/ /$ $l_{2}$ ，则 $a = - 3$ 或 $a = 1$ D、直线 $l_{2}$ 始终过定点 $(- 1, 2)$

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15、已知点 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上任意一点，直线 $l$ 过 $⊙ M : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的圆心且与 $⊙ M$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[3, 35]$ B、 $[2, 34]$ C、 $[2, 36]$ D、 $[4, 36]$

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16、空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且法向量为 $\vec{m} = (A, B, C)$ 的平面方程为 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ ，经过点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个方向向量为 $\vec{n} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面 $α$ 的方程为 $2 x - 3 y - z = 0$ ，经过点 $(0, 0, 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x}{- 1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 3}$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{5}{14}$ B、 $\frac{3}{14}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{3}{13}$

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17、如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于 $l$ 位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（）

A、6.4m B、6m C、3.2m D、3m

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18、圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 10 x + 9 = 0$ 的公切条数为（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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19、已知 $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (3, - 1)$ ， $B (- 5, 2)$ ， $C (7, 4)$ ，则 $B C$ 边上的中线所在直线的方程为（）

A、 $x + 2 y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 5 = 0$ C、 $2 x - y - 7 = 0$ D、 $x - 2 y - 5 = 0$

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20、已知 $\vec{a} = (- 3, 2, 5), \vec{b} = (1, 5, - 1)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{57}$ B、 $\sqrt{59}$ C、 $\sqrt{61}$ D、 $3 \sqrt{7}$

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