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相关试卷

1、把 $n$ 元有序实数组 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 称为 $n$ 维向量，类似平面向量与空间向量，对于 $n$ 维向量 $\vec{i} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), \vec{j} = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ，也可定义两个向量的加法运算和减法运算 $\vec{i} \pm \vec{j} = (a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2}, \dots, a_{n} \pm b_{n})$ ；数乘运算 $λ \vec{i} = (λ a_{1}, λ a_{2}, \dots, λ a_{n}), λ \in R$ ；向量的长度（模） $| \vec{i} | = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}}$ ；两个向量的数量积 $\vec{i} \cdot \vec{j} = | \vec{i} | \cdot |\vec{j}| \cos ⟨\vec{i}, \vec{j}⟩ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}$ （ $⟨\vec{i}, \vec{j}⟩$ 表示向量 $\vec{i}, \vec{j}$ 的夹角， $⟨\vec{i}, \vec{j}⟩ \in [0, π]$ ）；向量 $\vec{j}$ 在向量 $\vec{i}$ 上的投影向量的模 $\frac{|\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}|}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}}} \cdot n$ 维向量为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间.

(1)、已知 $\vec{m} = (1, 2, 3, 4, 5), \vec{n} = (1, 1, 1, 1, 1)$ ，求向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 的夹角的余弦值；

(2)、已知4维向量 $\vec{O A} = (1, 2, 3, 0), \vec{O B} = (1, 2, 0, 4), \vec{O C} = (1, 0, 3, 4), \vec{O D} = (0, 2, 3, 4)$ ， $\vec{O P} = a \vec{O A} + b \vec{O B} + c \vec{O C} + d \vec{O D}$ ，且 $6 a + 7 b + 8 c + 9 d = 1$ ，求 $|\vec{O P}|$ 的最小值；

(3)、 $a_{i} \in R (i = 1, 2 \dots, n), \sum_{i = 1}^{n} i a_{i} = 0$ ，求 $\frac{|\sum_{i = 1}^{n} a_{i}|}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}}}$ 的最大值（用含 $n$ 的式子表示）.
（注： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ）

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2、动点 $M (x, y)$ 到直线 $y = x$ 与直线 $y = - x$ 的距离之积为 $\frac{1}{2}$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、若点 $A (x_{0}, y_{0})$ 为曲线 $E$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (0 < p \leq \frac{3}{4})$ 的一个公共点，点 $B (4 p, 0)$ .
①求 $x_{0}$ 的取值范围；②当 $y_{0} > 0$ ，且 $y_{0} \neq 1$ 时，求直线 $A B$ 斜率的取值范围.

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3、设函数 $f (x) = 2 x - 1, g (x) = 4 x^{2} - 2 x - 1$ ，数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\} (n \in N^{*})$ 满足： $a_{1} = \sqrt{3}, b_{1} = - 1, a_{n + 1}^{2} = \frac{f (a_{n}) + g (a_{n})}{2}, b_{n + 1} = \frac{g (b_{n}) - {[f (b_{n})]}^{2}}{2}$ .

(1)、若 $a_{n} > 0$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{b_{n} (a_{n}^{2} - 1)\} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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4、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 3$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A_{1}}$ .

(1)、用 $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A A_{1}}$ 表示 $\vec{C D}$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与直线 $A C_{1}$ 所成角的余弦值.

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5、已知直线 $l : x - y + 4 = 0$ ，圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ .

(1)、若直线 $l$ 把圆 $C$ 分成面积相等的两部分，求实数 $a$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求实数 $a$ 的值.

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6、用 $max \{a, b\}$ 表示两数 $a, b$ 中的较大者，记 $c_{n} = max \{3 n - 1, λ \cdot 2^{n - 1}\} (λ > 0, n \in N^{*})$ ，若 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4} + c_{5} \geq 60$ ，则 $λ$ 的取值范围是.

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7、已知曲线 $x^{2} + y^{2} = |x| + |y|$ ，则该曲线的一条对称轴方程为.（写出满足条件的一个方程即可）

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8、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则 $b =$ .

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1, M$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点， $N$ 为 $D_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 为平面 $A C B_{1}$ 内的动点，则（）

A、 $M C_{1}$ $∥$ 平面 $A C B_{1}$ B、平面 $A D D_{1} A_{1}$ 与平面 $A C B_{1}$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$ C、若 $M P$ 与 $B D_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则点 $P$ 的轨迹为圆 D、 $△ M P N$ 周长的最小值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{14}}{2}$

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10、对于数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ ，若存在正整数 $T$ ，使得对于任意正整数 $n$ ，都有 $a_{n + T} = a_{n}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为周期数列.下列数列 $\{a_{n}\}$ 中为周期数列的是（）

A、 $a_{n} = \frac{1 + {(- 1)}^{n}}{2}$ B、 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ C、 $a_{n} = 2^{n} sin \frac{n π}{2}$ D、 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} 2 a_{n}, n 是奇数, \\ \frac{1}{a_{n}}, n 是偶数 . \end{array}$

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11、关于曲线 $Γ : A x^{2} + B y^{2} = 1 (A, B \in R, A^{2} + B^{2} \neq 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $A = B > 0$ ，则曲线 $Γ$ 表示圆 B、若 $A B = 0$ ，则曲线 $Γ$ 表示抛物线 C、若 $A B > 0$ ，则曲线 $Γ$ 表示椭圆 D、若 $A B < 0$ ，则曲线 $Γ$ 表示双曲线

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12、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < \sqrt{5})$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 是椭圆 $E$ 上第一象限的一点， $△ M F_{1} F_{2}$ 的内心为 $N (x_{1}, y_{1})$ ，若 $x_{0} = \sqrt{5} x_{1}$ ，则椭圆 $E$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $\sqrt{2}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足： $n b_{n} = S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\forall a_{1} \in R$ ，数列 $\{S_{n}\}$ 为递增数列 B、 $\exists a_{1} \in R$ ，使得数列 $\{b_{n}\}$ 为递减数列 C、 $\exists a_{1} \in R$ 及正整数 $p, q, r (1 < p < q < r)$ ，使得 $a_{p}, a_{q}, a_{r}$ 成等比数列 D、 $\forall a_{1} \in (- 1, + \infty)$ ，数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的最小项为 $a_{1} \cdot b_{1}$

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14、在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O A} \cdot \vec{O C} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = 0, |\vec{O A}| = |\vec{O C}| = 2$ ，若直线 $O C$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $30^{\circ}$ ，则 $|\vec{O B}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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15、台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点 $A, B$ ），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点 $C$ ）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点 $A (0, \frac{3}{2})$ ，点 $B (\frac{4}{5}, \frac{89}{50})$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(10, \frac{9}{2})$ B、 $(10, 5)$ C、 $(10, \frac{11}{2})$ D、 $(10, 6)$

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16、设等比数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{3}}{a_{2}} = 3$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{3}}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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17、已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、椭圆的长轴长为2 B、椭圆的焦点坐标为 $(\sqrt{7}, 0), (- \sqrt{7}, 0)$ C、椭圆关于直线 $y = x$ 对称 D、当点 $(x_{0}, y_{0})$ 在椭圆上时， $|y_{0}| \leq \sqrt{3}$

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18、已知直线 $l$ 的一般式方程为 $x - 2 y + 6 = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 的截距式方程为 $\frac{x}{- 6} + \frac{y}{3} = 1$ B、直线 $l$ 的截距式方程为 $\frac{x}{6} - \frac{y}{3} = 1$ C、直线 $l$ 的斜截式方程为 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ D、直线 $l$ 的斜截式方程为 $y = \frac{1}{2} x - 3$

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19、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $A (1, 2, 3)$ 在坐标平面 $x O y$ 内射影的坐标为（）

A、 $(0, 1, 2)$ B、 $(1, 0, 3)$ C、 $(1, 2, 0)$ D、 $(0, 0, 0)$

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20、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的 $1, 3, 6, 10$ 称为三角形数，第二行的 $1, 4, 9, 16$ 称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（）

A、22 B、26 C、35 D、51

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