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相关试卷

1、对定义在数集 $D$ 上的可导函数 $f (x)$ ，若数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ ，其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则称 $\{x_{n}\}$ 为 $f (x)$ 在 $D$ 上的“牛顿列”．

(1)、若 $\{x_{n}\}$ 为 $f (x) = 3^{x}$ 的“牛顿列”， $x_{1} = 3$ ，求 $\{x_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\{x_{n}\}$ 为 $f (x) = x^{2} - a$ 的“牛顿列”，其中 $a > 0$ ， $x_{1} > \sqrt{a}$ ，求证： $\forall n \in N^{*}$ ， $x_{n} - \sqrt{a} < {(\frac{1}{2})}^{n - 1} (x_{1} - \sqrt{a})$ ；

(3)、若 $\{x_{n}\}$ 为 $f (x) = 2 x + \cos x$ 的“牛顿列”，求证： $\forall n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ ， $|x_{n + 1} - r| \leq 2 |x_{n} - r|$ ，其中 $r$ 为 $f (x)$ 的唯一零点．

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2、已知 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，过焦点的最短弦长为 $4$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过动点 $P (a, b) (a < 0)$ 作抛物线 $C$ 的两条切线，切点为 $A, B$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{P F} = 0$ ，直线 $P F$ 与抛物线交于 $M, N$ （ $M, A$ 在第一象限）．
①求证：点 $P$ 在定直线上；
②记 $△ A F M, △ B F N$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，当 $S_{1} = 4 S_{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标．

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3、如图五面体 $A B C D E$ 中，四边形 $A B D E$ 是菱形， $△ A B C$ 是以角 $A$ 为顶角的等腰直角三角形，点 $M$ 为棱 $A B$ 的中点，点 $N$ 为棱 $C D$ 的中点

(1)、求证： $B N //$ 平面 $M C E$

(2)、若点 $E$ 在平面 $A B C$ 的射影恰好是棱 $B C$ 的中点，点 $P$ 是线段 $M E$ 上的一点且满足 $\vec{M P} = \frac{1}{3} \vec{M E}$ ，求平面 $B N P$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 (a_{n} - n^{2} + 3 n - 1), (n \in N_{+})$ ，令 $b_{n} = a_{n} + 4 n$ .

(1)、证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆心为 $(m, 2 m)$ $(m > 0)$ 的圆C与y轴相切，动直线 $l$ 过点 $P (0, 6)$ .

(1)、当 $m = 4$ 时，直线 $l$ 被圆所截得的弦长为 $2 \sqrt{14}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、圆C上存在点 $M$ 满足 $\vec{M O} \cdot \vec{M P} = 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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6、已知函数 $f (x) = e^{- x} (\ln a + \ln x)$ ，对任意 $x > 0$ ， $f (x) < \frac{1}{a}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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7、已知底面重合的两个正四面体 $O A B C$ 和 $O D B C$ ， $G$ 为 $△ B D C$ 的重心，记 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{O G}$ 用向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示为

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8、已知 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别是等差数列 $\{a_{n}\}$ 与等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{2} = 4$ ， $T_{3} = 3$ ，则 $S_{3} =$ ．

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9、已知定义域为 $(0,+ \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x y + 1) = \frac{f (x y)}{f (x) f (y) + 1}$ ，且 $f (2) = \frac{1}{2}$ ，记 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{f (n)}}$ ，则下列选项中正确的有（）

A、 $\frac{1}{a_{1} + a_{2}} + \frac{1}{a_{2} + a_{3}} + \dots \dots + \frac{1}{a_{20} + a_{21}} < \sqrt{21}$ B、当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} - a_{n - 1} > \frac{1}{2 \sqrt{n}}$ C、当 $n \geq 2$ 时， $(a_{n} - a_{n - 1}) (a_{n + 1} - a_{n}) > 1$ D、 $\frac{1}{a_{1}^{3}} + \frac{1}{a_{2}^{3}} + \dots \dots + \frac{1}{a_{16}^{3}} > \frac{15}{8}$

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10、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，下列命题正确的是（）

A、若椭圆 $C$ 上存在一点 $P$ 使 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，则椭圆离心率的取值范围是 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ B、若椭圆 $C$ 上存在四个点 $P$ 使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、若椭圆 $C$ 上恰有6个不同的点 $P$ ，使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$ D、若任意以椭圆 $C$ 的上顶点为圆心的圆与椭圆 $C$ 至多3个公共点，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 4, x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，则下列选项中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在的值域为 $[2, 6]$ C、函数 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = - 3 x + 4$ D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有2个不同的根当且仅当 $a \in [2, \frac{21}{8}]$

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12、已知 $x \in [1, 3]$ ，方程 $e^{x - \frac{1}{2} \ln x} + \frac{b}{\sqrt{x}} = a \sqrt{x + \frac{5}{x} - 2}$ 有实数根，则 $a^{2} + \frac{b^{2}}{4}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{e^{2}}{9}$ B、 $\frac{e^{2}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{2} e}{4}$ D、 $e$

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13、在如图所示的试验装置中，正方形框 $A B C D$ 的边长为2，长方形框 $A B E F$ 的长 $B E = \sqrt{2} A B$ ，且它们所在平面形成的二面角 $C - A B - E$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，活动弹子 $M, N$ 分别在对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且始终保持 $\frac{A M}{A C} = \frac{B N}{B F} = λ (0 < λ < 1)$ ，则 $M N$ 的长度最小时 $λ$ 的取值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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14、已知双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交双曲线 $M$ 于 $P, Q$ 两点， $△ P F_{1} F_{2}, △ Q F_{1} F_{2}, △ F_{1} P Q$ 的内切圆圆心分别为 $O_{1}, O_{2}, O_{3}$ ，则 $△ O_{1} O_{2} O_{3}$ 的周长是（）

A、 $2 \sqrt{2} + 2$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{3} + 2$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{2} + 2$

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15、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，满足 $(a_{n} - 1) T_{n} = 2 a_{n}$ ，则 $a_{n} < \frac{2025}{2024}$ 时的 $n$ 的最小值为（）

A、2026 B、2025 C、2024 D、2023

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16、已知 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的一个基底，则下列向量中与向量 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - 2 \vec{c}$ 能构成空间基底的是（）

A、 $\vec{a} - \vec{b} - 4 \vec{c}$ B、 $2 \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + 2 \vec{b} + 2 \vec{c}$

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} {(x - a)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极大值，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $3$ D、 $1$ 或 $3$

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18、直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角的度数为（）

A、 $150^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $30^{\circ}$ D、 $- 30^{\circ}$

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19、下列求导正确的（）

A、 ${(x + \frac{1}{x})}^{'} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${[\ln (2 x + 1)]}^{'} = \frac{1}{2 x + 1}$ C、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{e^{x} (x + 1)}{x^{2}}$ D、 ${(x \sin x)}^{'} = \sin x + x \cos x$

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20、牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，r是函数 $f (x)$ 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， … $x_{n - 1}$ ， $x_{n}$ ，在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处作 $f (x)$ 的切线，则 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标是 $x_{1}$ ，同理 $f (x)$ 在 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与x轴交点的横坐标是 $x_{2}$ ，一直继续下去，得到数列 $\{x_{n}\} (n \in N^{*})$ ，从图中可以看到， $x_{1}$ 较 $x_{0}$ 接近r， $x_{2}$ 较 $x_{1}$ 接近r，……，当n很大时， $|x_{n} - r|$ 很小，我们就可以把 $x_{n}$ 的值作为r的近似值，即把 $x_{n}$ 作为函数 $f (x)$ 的近似零点.现令 $f (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ .

(1)、当 $x_{0} = 1$ 时，求 $f (x) = 0$ 的近似解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ；

(2)、在（1）的条件下，求数列 $\{x_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、当 $x > 0$ 时，令 $g (x) = \frac{1}{3} x \cdot ln [f (\frac{x - 1}{2})]$ ，若 $- \frac{1}{4} < m < 0$ 时， $g (x) = m$ 有两个不同实数根 $α$ ， $β (α < β)$ .求证： $\sqrt{1 + 4 m} < β - α < m + 1$ .

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