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相关试卷

1、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 2, a_{n} = 2 a_{n - 1} (n \geq 2, n \in N^{*})$ .

(1)、试写出 $a_{2}, a_{3}$ ，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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2、已知二次函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ 满足 $f (0) = 6, f (1) = 5$ ，
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在 $x \in [- 2, 2]$ 的最小值和最大值.

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3、某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；

(2)、根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.

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4、已知 $\sin α = \frac{1}{2}, α \in (0, \frac{π}{2})$

(1)、求 $\cos α$ 的值；

(2)、求 $\sin 2 α + \cos 2 α$ 的值.

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $P A = A D$ ，则异面直线 $P D$ 与 $B C$ 所成角的大小是.

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6、已知 $x > 0$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值是．

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7、已知角 $α$ 的终边与单位圆的交点坐标为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\cos α$ = ．

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8、如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $B_{1} D_{1}$ 与平面 $B C_{1} D$ 的位置关系是（）

A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、直线 $B_{1} D_{1}$ 在平面 $B C_{1} D$ 内

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $A = 60^{\circ}, B = 45^{\circ},$ $b = \sqrt{6}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、3 D、6

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10、某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{6}$

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11、在区间 $(0, + \infty ）$ 为增函数的是（）

A、 $f (x) = - x$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = \lg x$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, x) .$ 若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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13、函数 $f (x) = 2^{x} - 3$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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14、已知集合 $M = {a, b}$ ， $N = {b, c}$ ，则 $M \cap N$ 等于（）

A、 ${a, b}$ B、 ${b, c}$ C、 ${a, c}$ D、 ${b}$

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15、对于正整数，存在唯一一对整数 $q$ 和 $r$ ，使得 $a = b q + r$ ， $0 \leq r < b$ . 特别地，当 $r = 0$ 时，称 $b$ 能整除 $a$ ，记作 $b | a$ .已知 $A = {1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 23}$ .

(1)、已知存在 $q \in A$ ，使得 $2024 = 91 q + r (0 \leq r < 91)$ ，试求 $q, r$ 的值；

(2)、求证：不存在这样的函数 $f : A \to {1, 2, 3}$ ，使得对任意的整数 $x_{1}, x_{2}$ $\in A$ ，若 $| x_{1} - x_{2} | \in {1, 2, 3}$ ，则 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ；

(3)、若 $B \subseteq A$ ， $card (B) = 12$ ，（ $card (B)$ 指集合B 中的元素的个数），且存在 $a, b \in B$ ， $b < a$ ， $b | a$ ，则称 $B$ 为“和谐集”. 求最大的 $m \in A$ ，使含 $m$ 的集合 $A$ 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.

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16、对于定义域为 $D$ 的函数 $y = f (x)$ ，如果存在区间 $[m, n] \subseteq D$ .同时满足：① $f (x)$ 在 $[m, n]$ 内是单调函数；②当定义域是 $[m, n]$ 时， $f (x)$ 的值域也是 $[m, n]$ ，则称 $[m, n]$ 是该函数的“优美区间”.

(1)、求证： $[0$ ， $2]$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ 的一个“优美区间”；

(2)、函数 $g (x) = 4 + \frac{6}{x}$ 是否存在“优美区间”？若存在，求出它的“优美区间”，若不存在，请说明理由.

(3)、已知函数 $h (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \in R, a \neq 0)$ 有“优美区间” $[m, n]$ ，当 $a$ 变化时，求出 $n - m$ 的最大值.

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17、已知指数函数 $f (x) = a^{x}$ 的图象过点 $(1, 2)$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $F (x) = f (x) - f (- x)$ 的奇偶性，并加以证明；

(3)、如果 ${log}_{a} (- x^{2} - 2 b x + 3) \geq 1$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos 2 x$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值和最大值及相应自变量x的值.

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19、化简下列各式：

(1)、 $\frac{\sin (π + α) \sin (2 π - α) \cos (- π - α)}{\sin (3 π + α) \cos (π - α) \cos (\frac{3 π}{2} + α)}$ ；

(2)、 $\sin (- 1320 °) \cos 1110 ° + \cos (- 1020 °) \sin 750 °$ .

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20、已知 $sin (α - \frac{2 π}{3}) = \frac{2}{3}$ ，其中 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $cos (α - \frac{π}{6}) =$ ， $sin (2 α - \frac{π}{3}) =$ .

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