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相关试卷

1、如果数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 的平均数是 $\bar{x}$ ，方差是 $s^{2}$ ，则 $3 x_{1} + 2, 3 x_{2} + 2, \cdot \cdot \cdot, 3 x_{n} + 2$ 的平均数和方差分别是（）

A、 $\bar{x}$ 和 $s^{2}$ B、 $3 \bar{x}$ 和 $9 s^{2}$ C、 $3 \bar{x} + 2$ 和 $9 s^{2}$ D、 $3 \bar{x} + 2$ 和 $9 s^{2} + 4$

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2、某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴越爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的扇形图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）

A、这五个社团的总人数为100 B、脱口秀社团的人数占五个社团总人数的 $20 %$ C、这五个社团总人数占该校学生人数的 $8 %$ D、脱口秀社团在扇形统计图中所占圆心角的度数为 $90^{°}$

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3、为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如下图），已知从左到右各长方形高的比为 $2 : 3 : 5 : 6 : 3 : 1$ ，则该班学生数学成绩在 $[80, 100)$ 之间的学生人数是（）

A、32 B、27 C、24 D、33

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4、在 $△ A B C$ 中，若 $b = 2 a \sin B$ ，则 $A =$ ( )

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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5、一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样法从中抽出一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽得的热水器台数是（）

A、甲厂9台，乙厂5台 B、甲厂8 台，乙厂6台 C、甲厂 10 台，乙厂4台 D、甲厂7台，乙厂7台

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6、下列命题中一定正确的是（）

A、 $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{A B}$ B、 $\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}$ C、 $\vec{0} \cdot \vec{A B} = \vec{0}$ D、 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} = \vec{0}$

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7、若复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 3 - 2 i$ ，则 $z_{1} + z_{2} =$ （）

A、 $4 + i$ B、 $2 - 3 i$ C、 $4 - i$ D、 $- 2 + 3 i$

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8、已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ ( $a$ 为常数， $a \in R$ ).
（1）讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性；
（2）当 $f (x)$ 为偶函数时，若方程 $f (2 x) - k \cdot f (x) = 3$ 在 $x \in [0, 1]$ 上有实根，求实数 $k$ 的取值范围.

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a = 2$ ， $C = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $A = \frac{π}{4}$ ，求 $c$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ，求 $b$ ， $c$ .

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10、某工厂更新技术开发研制了一款新产品，通过调研知，往年每年生产 $x$ 千件产品，获利 $C (x)$ 千元，且 $C (x) = \{\begin{cases} 20 x^{2} - 21 x + 330, 0 < x \leq 2 \\ 492 - 21 x - \frac{80}{x - 1}, 2 < x \leq 5 \end{cases}$ 更新技术后需要另外投入费用 $(x + 2)$ 千元，且每千件产品比之前多盈利2千元，生产的产品供不应求，均能售完.

(1)、求更新技术后的利润 $L (x)$ （千元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、更新技术后，当年产量为多少千件时，工厂所获利润最大？并求出最大利润.

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11、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (\frac{π}{2}) = - \sqrt{3}$ B、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到 $y = 2 sin 2 x$ 的图象 C、 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq 4$ D、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[k π + \frac{π}{12}, k π + \frac{7 π}{12}], k \in Z$

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12、已知 $α, β \in R$ ，则“ $α + β = \frac{π}{2}$ ”是“ $sin α = cos β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知函数 $f (x) = - x^{2} + 4 x + 5$ 在区间 $[0, m]$ 上的值域为 $[5, 9]$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 4]$ B、 $[0, 4]$ C、 $[0, 2]$ D、 $[1, 4]$

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14、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2^{n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{(n + 3) \cdot 2^{n - 1}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = {log}_{2} \frac{a_{n}}{n + 1}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明： $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，求 $[\sum_{k = 1}^{2025} \frac{1}{\sqrt{c_{k}}}]$ ．

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是边长为6的正三角形， $E$ ， $F$ 分别是线段 $A B$ 和 $P D$ 上的点， $A E = 4$ .

(1)、试确定点 $F$ 的位置，使得 $A F / /$ 平面 $P E C$ ，并证明；

(2)、若直线 $C F$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{2}$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $A F C$ 夹角的余弦值.

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16、设函数 $f (x) = \ln x + \ln (2 - x) + a x$ $(a > 0)$ ．
（1）当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若 $f (x)$ 在 $(0, 1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，求 $a$ 的值．

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17、若 $f (x) = \frac{9^{x}}{9^{x} + 3}$ ，则 $f (- 3) + f (- 2) + f (- 1) + f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4) =$ ．

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18、设函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} + a x$ ，则（）

A、当 $a = - 3$ 时， $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递增 B、当 $a \geq 0$ 时， $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增 C、当 $a = 0$ 时，直线 $y = 0$ 不是 $y = f (x)$ 的切线 D、对 $\forall a \in R$ ，点 $(1, f (1))$ 是 $y = f (x)$ 的对称中心

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19、已知定义域为R的奇函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) > f (x)$ .若 $a = \frac{f (- \log_{2} 3)}{- \log_{2} 3}, b = \frac{f (\log_{4} 6)}{\log_{4} 6}, c = \frac{f (\sin \frac{π}{8})}{\sin \frac{π}{8}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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20、函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x}{e^{x}}$ 的大致图象是

A、 B、 C、 D、

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