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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \log_{2} \frac{1 - x}{1 + x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若 $f (x) = 2$ ，求 $x$ 的值.

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + \sin \frac{π}{4} x + 1$ ，若对任意 $x \in [- 2 ， 2]$ ，都有 $f (|x - a|) + f (x^{2} - x) > 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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3、在 $△ A B C$ 中，若 $\tan A$ ， $\tan B$ 是 $x$ 的方程 $x^{2} - p x + 1 - p = 0$ 的两个实根，则 $\tan C =$ .

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4、求值： $2^{- 1} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} =$ .

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5、已知函数 $f (x) (x \in R)$ 是以 $1$ 为最小正周期的周期函数，且当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ ，设 $g (x) = a x + b$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时， $g (x) = f (x)$ 可以有两个解 B、当 $a = - 1$ 时， $g (x) = f (x)$ 可以有一个解 C、当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $g (x) = f (x)$ 可以有四个解 D、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时， $g (x) = f (x)$ 可以有三个解

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6、已知正数 $a, b$ 满足 $a b = a + b + 3$ ，则（）

A、 $a b$ 的最小值为 $3$ B、 $a + b$ 的最小值为 $6$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$ D、 $2^{a} + 4^{b}$ 的最小值为 $16 \sqrt{2}$

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7、下列函数中，为幂函数的是（）

A、 $f (x) = x^{3}$ B、 $f (x) = 2 x^{2}$ C、 $f (x) = x^{- 1}$ D、 $f (x) = 2^{x}$

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8、函数 $f (x) = 2 \sin (3 x - \frac{π}{6})$ 在区间 $[t - \frac{π}{6}, t]$ $(t \in R)$ 上的最大值与最小值之差的取值范围是（）

A、 $[2 - \sqrt{2}, 2]$ B、 $[\sqrt{2}, 2]$ C、 $[2, 2 \sqrt{2}]$ D、 $[2 - \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

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9、一种药在病人血液中的量保持 $1500 mg$ 及以上才有疗效，而低于 $500 mg$ 病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药 $2500 mg$ ，如果药在血液中以每小时 $20 %$ 的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间(精确到 $0.1 h$ )为（）
（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30$ ， $\lg 3 \approx 0.48$ ）

A、 $2.2$ B、 $4.2$ C、 $7.0$ D、 $8.8$

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10、已知 $a = 2^{\frac{1}{3}}$ ， $b = \log_{2} \frac{1}{3}$ ， $c = \cos \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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11、已知 $c > 0$ ，则“ $a > b$ ”是“ $a c > b c$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{3, 4, 5, 6\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

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13、若向量 $\vec{a} = (2, 0), \vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，则（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ C、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{a}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$

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14、函数 $y = \frac{\ln x + 1}{x}$ 的单调增区间为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, e)$ D、 $(1, + \infty)$

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15、已知 $a \in R$ ，若函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} - \ln x$ 既有极大值又有极小值，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ B、 $(0, \frac{1}{4})$ C、 $(- \frac{1}{4}, 0)$ D、 $(- \frac{1}{4}, + \infty)$

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16、将复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ ，表示成三角形式 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ ，其中 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ， $\cos θ = \frac{a}{r}$ ， $\sin θ = \frac{b}{r}$ ， $r$ 是复数 $z$ 的模， $θ$ 是复数 $z$ 的辐角.

(1)、求方程 $x^{3} + 1 = 0$ 的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根；

(2)、已知 $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ， $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ ，试推导复数 $z_{1} z_{2}$ 的三角形式；

(3)、在单位圆的内接六边形 $A B C D E F$ 中， $|A B| = |C D| = |E F| = 1$ ， P，Q，R分别为 $B C$ ， $D E$ ， $F A$ 的中点，判断 $△ P Q R$ 的形状并证明.

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17、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\vec{m} = (a, b + c)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \sin C + \cos C, 1)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 (b + c)$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{B M} = 2 \vec{M C}$ ， $A M = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若N是 $∠ B A C$ 的平分线与 $B C$ 的交点，且 $A N = \sqrt{3}$ ，则求 $b + 2 c$ 的最小值.

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18、圆锥 $P O$ 的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.

(1)、一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；

(2)、过 $P O$ 的中点 $O_{1}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.

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19、已知复数 $z = 1 + m i (m \in R)$ ，且 $\bar{z} (3 + i)$ 为纯虚数

(1)、求实数 $m$ 及 $|z|$ ；

(2)、若 $z$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，求 $2 p + q$ 的值.

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20、正六边形的边长为1，顶点依次为 $A_{1}, A_{2}, \cdot \cdot \cdot, A_{6}$ ，若存在点 $P$ 满足 $\vec{P A_{1}} \cdot \vec{P A_{2}} = 0$ ，则 $|\vec{P A_{1}} + \vec{P A_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \vec{P A_{6}}|$ 的最大值为.

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