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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln x - a x + 1, a \in R$ ．
（1）若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围；
（2）设 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ ，直线 $A B$ 的斜率为k，若 $x_{1} + x_{2} + k > 0$ 恒成立，求a的取值范围．

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2、设函数 $f (x) = e^{x} + \sin x - k x$ .

(1)、当 $k = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $k = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $x [f (x) - f (- x)] \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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3、在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 且与直线 $x = - \frac{1}{2}$ 相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上， $△ P B C$ 的内切圆的方程为 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，求 $△ P B C$ 面积的最小值．

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4、牛顿迭代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设 $r$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个零点，任意选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{1}$ ，设 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{1}$ ，并称 $x_{1}$ 为 $r$ 的1次近似值；过点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{2}$ ，设 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的2次近似值，过点 $(x_{n}, f (x_{n})) (n \in N^{*})$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{n + 1}$ ，记 $l_{n + 1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n + 1}$ ，并称 $x_{n + 1}$ 为 $r$ 的 $n + 1$ 次近似值，设 $f (x) = x^{3} + 2 x - 1 (x \geq 0)$ 的零点为 $r$ ，取 $x_{0} = 0$ ，则 $r$ 的2次近似值为；设 $a_{n} = \frac{3 x_{n}^{3} + 2 x_{n}}{2 x_{n}^{3} + 1} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ．若任意的 $n \in N^{*}, T_{n} < λ$ 恒成立，则整数 $λ$ 的最小值为．

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5、如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F（可与端点重合），则四棱锥P-AEMF的体积的取值范围是.

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6、（多选题）如图，设 $△ A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若 $a 、 b 、 c$ 成等比数列， $A 、 B 、 C$ 成等差数列， $D$ 是 $△ A B C$ 外一点， $D C = 1, D A = 3$ ，下列说法中，正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 是等边三角形 C、若 $A 、 B 、 C 、 D$ 四点共圆，则 $A C = \sqrt{13}$ D、四边形 $A B C D$ 面积无最大值

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{2} x|, 0 < x < 2 \\ \sin (\frac{π}{4} x), 2 \leq x \leq 10 \end{array}$ ，若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{(x_{3} - 1) (x_{4} - 1)}{x_{1} x_{2}} + 2 x_{4} - 5 x_{3}$ 的取值范围是（）

A、 $(14, 17)$ B、 $(14, 19)$ C、 $(17, 19)$ D、 $(17, \frac{77}{4}]$

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8、已知定义域为 $\{x |x \neq 0\}$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) [f (x) + f (y)] = f (x) f (y)$ ， $f (1) = 2$ ，且当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{2}{3}) = 6$ B、 $f (2 x) = 2 f (x)$ C、 $f (x)$ 为奇函数 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 是单调递增函数

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9、在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{m} \cdot a_{m + 2} = 2 a_{m + 1} (m \in N^{\cdot})$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{m}$ ，且 $T_{2 m + 1} = 128$ ，则 $m$ 的值为

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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10、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，对任意的 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} + 1 < 0$ ，且函数 $y = f (x + 2)$ 的图象关于点 $(- 2, 0)$ 对称. 若对任意的 $x \in (2, 5]$ ，不等式 $f (x^{2} - 4 x) + f (4 y - y^{2}) \leq 0$ 成立，则 $\frac{y}{x - 1}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{4}, 2]$ B、 $[- \frac{1}{4}, 2)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{4}]$ D、 $[2, + \infty)$

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11、给出以下不等关系：① $\sqrt{\frac{2}{e}} > \ln 2$ ；② $\frac{1}{\sqrt{e}} < \ln 2$ ；③ $3 e \ln 2 > 4 \sqrt{2}$ ；④ $2^{\sqrt{15}} > 15$ ， $e$ 为自然对数的底数，其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、若 $a < b < 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a b < b^{2}$ B、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ C、 $- \frac{1}{a} < - \frac{1}{b}$ D、 $a^{2} < b^{2}$

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13、求值：

(1)、 ${(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} + 4^{{log}_{2} 3} - \frac{1}{2} lg \frac{2}{5} + lg 2$ ；

(2)、 $sin (- \frac{23 π}{6}) + cos (\frac{23 π}{7}) \cdot tan 2024 π - cos \frac{13 π}{3} .$

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14、对于椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上的任意两点P，Q定义“ $\oplus$ ”运算满足：过点 $S (1, \frac{3}{2})$ 作直线 $l / /$ 直线 $P Q$ （规定当P和Q相同时，直线 $P Q$ 就是 $Γ$ 在点P处的切线），若l与 $Γ$ 有异于S的交点T，则 $P \oplus Q = T$ ；否则 $P \oplus Q = S$ .已知“ $\oplus$ ”满足交换律和结合律，记 $P_{n} = \underset{n 个}{\underset{}{P \oplus P \oplus \cdot \cdot \cdot \oplus P}}$ .

(1)、若 $P (2, 0)$ ， $Q (- 1, - \frac{3}{2})$ ，求 $P \oplus Q$ ， $P_{2}$ 以及 $P_{2025}$ ；

(2)、对于 $Γ$ 上的四点 $P (2 \cos 2 θ, \sqrt{3} \sin 2 θ)$ ， $Q (2 \cos 2 φ, \sqrt{3} \sin 2 φ)$ ， $M (2 \cos 2 α, \sqrt{3} \sin 2 α)$ ， $N (2 \cos 2 β, \sqrt{3} \sin 2 β)$ ，求证： $\vec{P Q} / / \vec{M N}$ 的充要条件是 $α + β = θ + φ + k π (k \in Z)$ ；

(3)、是否存在异于S的点P，使得 $P_{4} = S$ ？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由.

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15、如图， $△ A B C$ ， $△ D B C$ ， $△ E B C$ 都是等边三角形，点D，E分别在平面 $A B C$ 的上方和下方，点 $O$ 为 $B C$ 中点.

(1)、求证：A，D，O，E四点共面；

(2)、若 $A D = A B = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $O E$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值的最大值.

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16、已知函数 $f (x) = k x^{2} - (k + 2) x - ln \frac{2}{x}$ ， $k \in R$ ．

(1)、当 $k > 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $k = 2$ 时，求 $f (x) > 0$ 的解集；

(3)、若函数 $f (x)$ 图象上有三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线 $f (x)$ 在点 $B$ 处的切线斜率与 $A$ ， $C$ 两点连线斜率的大小关系．

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17、某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，中奖与否互不影响.

(1)、已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励.
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？

(2)、若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a cos C + b = 0$ ， $b = \frac{\sqrt{2}}{4} c$ ．

(1)、求 $cos C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{4}$ ， $D$ 是 $B C$ 上的点，且 $∠ A D B = \frac{3π}{4}$ ，求 $C D$ 的长．

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19、已知棱长为 $a$ 的正四面体 $P - A B C$ ，且 $\vec{A M} = \frac{7}{9} \vec{A B}$ ， $Q$ 为侧面 $P B C$ 内的一动点，若 $Q M = \frac{\sqrt{7}}{3} Q B$ ，则点 $Q$ 的轨迹长为．

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20、已知 $α$ ， $β$ 均为锐角， $\sin (α - β) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\tan α \tan β = 3$ ，则 $\cos (α + β) =$ .

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