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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = ln \frac{4 - x}{x} + a x$ 在 $x = 3$ 处取得极大值， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $a = \frac{4}{3}$ B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > f (x^{2})$ C、 $f^{'} (2 + x) = f^{'} (2 - x)$ D、当 $1 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq 3$ 且 $x_{1} + x_{2} < 4$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{2}) < \frac{16}{3}$

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2、某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则（）

A、两组数据的平均数相等 B、第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C、两组数据的极差相等 D、第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数

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3、定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，且 $f (3) = 0$ ，若关于 $x$ 的不等式 $(m x - 2) f (x - 2) \geq (n x + 3) f (2 - x)$ 的解集为 $[- 1, + \infty)$ ，则 $e^{m - 2 n} + e^{n + 1}$ 的最小值为（）

A、 $2 e^{3}$ B、 $2 e^{2}$ C、 $2 e$ D、 $2 \sqrt{e}$

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4、已知 $ω > 0$ ，曲线 $y = cos ω x$ 与 $y = cos (ω x - \frac{π}{3})$ 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $\sqrt{3} π$

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5、已知实数 $a ， b$ 满足 $3^{a} = 4^{b}$ ，则下列不等式可能成立的是（）

A、 $b < a < 0$ B、 $2 b < a < 0$ C、 $0 < a < b$ D、 $0 < 2 b < a$

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6、已知点 $P$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上，且点 $P$ 到 $C$ 的两条渐近线的距离之积等于 $\frac{a^{2}}{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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7、已知球 $O$ 的表面积为 $4 π$ ，一圆台的上、下底面圆周都在球 $O$ 的球面上，且下底面过球心 $O$ ，母线与下底面所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则该圆台的侧面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} π$ B、 $\frac{3}{2} π$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} π$ D、 $3 π$

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8、已知集合 $A = \{x ∣ 0 \leq x \leq a\} ， B = \{x ∣ x^{2} - 2 x \leq 0\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 2]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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9、已知函数 $f (x) = \log_{a} (a^{2 x} + 1) - b x (a > 0, a \neq 1, b \in R)$ 为偶函数．
（Ⅰ）求 $b$ 的值；
（Ⅱ）若 $a^{f (1)} = \frac{2}{3} (a^{2} - \frac{1}{a^{2}})$ ，求 $a$ 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数 $g (x) = f (x) - \log_{a} (k \cdot 2^{x} + 2 \sqrt{2} k) (k > 0)$ 在 $R$ 上只有一个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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10、某企业新研发了一款产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格 $R (x)$ （单位：元）与时间 $x$ （单位：天）的函数关系近似满足 $R (x) = 10 + \frac{10}{x}$ ，该产品的日销售量 $P (x)$ （单位：个）与时间 $x$ 部分数据如下表所示：
$x$
5
10
15
20
25
30
$P (x)$
105
110
115
120
115
110

(1)、现提供两种函数模型：① $P (x) = a e^{b x}$ ；② $P (x) = a |x - 20| + b$ ，请你根据上表中的数据特征，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该产品的日销售量 $P (x)$ 与时间 $x$ 的函数关系，并求出该函数的解析式；

(2)、求该产品的日销售总收入 $Q (x) (1 \leq x \leq 30, x \in N^{*})$ （单位：元）的最小值.（注：日销售总收入 $=$ 日销售价格 $\times$ 日销售量）

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11、已知函数 $f (x) = (a + 1) x^{2} - x + 1$ ．

(1)、若对 $\forall x \in [1, 3]$ ， $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a > 0$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq x^{2} + a x$ 的解集．

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12、写出使“不等式 $a^{x} < a^{x - 2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）对一切实数 $x$ 都成立”的 $a$ 的一个取值．

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13、请写出一个在 $(0, + \infty)$ 上单调递减且为偶函数的幂函数．

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14、函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) + f (1 + x) = x^{2} + 1$ ， $f (2 + x) = f (2 - x) + 4 x$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $f (3) = \frac{9}{2}$ B、 $f (2) + f (4) = 6$ C、 $y = f (x + 2) - 2 x$ 为偶函数 D、当 $x \geq 0$ 时， $f (x + 4) - f (x) \geq 8$

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15、下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = x^{3}$ 的对称中心是 $(0, 0)$ B、方程 $x^{2} - x + m = 0$ 有一个正根一个负根，则 $m < 0$ C、不等式 $k x^{2} + k x - 1 < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，则 $- 4 < k < 0$ D、 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = e^{x} + x - 4$ 的零点，则 $1 < x_{0} < 2$

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x + 1}, x \leq 1 \\ - f (x - 1), x > 1 \end{array}$ 则 $f (2024 - ln 3) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} e^{}$ B、 $- \frac{1}{2} e^{2}$ C、 $\frac{1}{3} e^{3}$ D、 $\frac{1}{2} e^{2}$

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17、钱学森弹道，即“助推—滑翔”弹道，是著名科学家钱学森于1984年提出的，该弹道设计具有非常高的科学性和实用性，将弹道导弹和飞航导弹的轨迹融合，使导弹同时具备突防性和灵活性，作战能力显著增强据报道，2019年国庆大阅兵亮相的部分东风系列中程和洲际导弹就采用了该弹道设计，这极大地提升了我国的国防实力.关心国防建设的某高一学生，在学习了“函数的应用”后，用 $y = \frac{b x}{1 + a x^{2}}$ 的图象拟合某一钱学森弹道，其中 $x$ （千公里）表示弹道横向位移， $y$ （千公里）表示弹道纵向位移，在网络公开平台可获得两组数据： $x = 1, y = \frac{1}{4}; x = 3, y = \frac{3}{28}$ ，则 $a, b$ 分别为（）

A、 $1, 3$ B、 $3, 1$ C、 $- 3, - \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}, - 3$

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18、设 $f (x)$ 为定义的实数集上的偶函数，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上是增函数， $f (- 3) = 0$ ，则 $f (3^{x} - 6) < 0$ 的解集为

A、 $(1, 2)$ B、 $(- \infty, 1) \cup [\log_{3} 6, 2)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$

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19、已知平面直角坐标系中，点 $O$ 为原点， $A (- 3, - 4)$ ， $B (5, - 12)$ ．

(1)、求 $\vec{A B}$ 的坐标及 $|\vec{A B}|$ ；

(2)、若 $\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B}$ ， $\vec{O D} = \vec{O A} - \vec{O B}$ ，求 $\vec{O C}$ 及 $\vec{O D}$ 的坐标；

(3)、求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ ．

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20、已知 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图像可由 $y = 2 sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 C、 $f (x)$ 的对称轴为 $x = \frac{5 π}{12} + k π (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{11 π}{6}, 2 π]$ 上的最大值为 $\sqrt{3}$

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$x$	5	10	15	20	25	30
$P (x)$	105	110	115	120	115	110