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相关试卷

1、设A是直线 $P Q$ 外一点，点M在直线 $P Q$ 上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对 $P Q$ 施以视角运算”：若点M在线段 $P Q$ 上，记 $(P, Q; M) = \frac{|A P| \sin ∠ P A M}{|A Q| \sin ∠ M A Q}$ ；若点M在线段 $P Q$ 外，记 $(P, Q; M) = \frac{|A P| \sin ∠ P A M}{|A Q| \sin ∠ M A Q}$ .在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上.

(1)、若D是BC的中点，由A点对BC施以视角运算，求 $(B, C; D)$ 的值；

(2)、若 $A = 60 °$ ， $a = 4$ ， $A B ⊥ A D$ ，由A点对BC施以视角运算， $(B, C; D) = - 3$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、若 $A = 120 °$ ， $A D = 4$ ，由A点对BC施以视角运算， $(B, C; D) = \frac{c}{b}$ ，求 $b + 4 c$ 的最小值.

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2、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $C C_{1}$ 的中点，经过A， $D_{1}$ ， E三点的平面记为平面 $α$ .

(1)、平面 $α$ 将正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 分成两部分，求这两部分的体积之比 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ （其中 $V_{1} \leq V_{2}$ ）；

(2)、点P是在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点，满足 $A_{1} P / / α$ ，当 $A_{1} P$ 最短时，求三棱锥 $P - A A_{1} D_{1}$ 的外接球的表面积.

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3、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 2$ ，且 $△ P A C$ 的面积为2，点M为棱PD的中点.

(1)、证明： $P B / /$ 平面MAC；

(2)、求直线PA与直线BM所成角的余弦值.

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4、已知 $m \in R$ ，复数 $z = 2 m + 3 + (m - 1) i$ ．

(1)、若z在复平面内对应的点位于第四象限，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若z满足 $z + 3 \bar{z} = n + 4 i$ ， $n \in R$ ，求 $| \frac{n + m i}{3 + 4 i} |$ 的值．

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5、在锐角 $△ A B C$ 中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知 $\frac{2 a - c}{6} = \frac{\cos C}{\cos B}$ 且 $b = 6$ ，则锐角 $△ A B C$ 面积的取值范围为.

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6、如图，四边形 $O A B C$ 是边长为1的正方形， $\overset{⌢}{A C}$ 是四分之一圆，则图中阴影部分以 $O C$ 所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体的表面积为．

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7、若 $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 4,$ 向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $45^{\circ} ，$ 则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$

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8、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、 $A_{1} B_{1}$ 、 $B B_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 、 $C C_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线GH和MN平行，GH和EF异面 B、直线GH和MN平行，MN和EF相交 C、直线GH和MN相交，MN和EF异面 D、直线GH和EF异面，MN和EF异面

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9、下列结论中正确的是（）

A、正四面体是四棱锥 B、棱台的侧棱长均相等 C、圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D、以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥

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10、复数 $z = (m^{2} - 2 m - 3) + (m - 3) i$ （ $m \in R$ ）表示纯虚数，则实数m的值为（）

A、 $m = - 1$ B、 $m = 1$ C、 $m = 3$ D、 $m = - 1$ 或 $m = 3$

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11、已知空间向量 $\vec{a} = (- 2, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - \frac{1}{2}, m)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $| \vec{a} | = 9$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = \frac{5}{4}$ C、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m = 1$ D、若 $m = 1$ ，则 $\cos 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = - \frac{1}{9}$

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12、点 $(0, - 1)$ 到直线 $λ x - y + λ = 0$ （ $λ$ 为任意实数）距离的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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13、已知向量 $\overset{⃑}{m} = (2, sin α)$ ， $\overset{⃑}{n} = (cos α, - 1)$ ，其中 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $\overset{⃑}{m} ⊥ \overset{⃑}{n}$ .

(1)、求 $sin 2 α$ 和 $cos 2 α$ 的值；

(2)、若 $sin (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，求角

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14、如图，点 $P (\frac{π}{3}, 0)$ ， $Q (\frac{5 π}{6}, 0)$ ， $R (0, \sqrt{3})$ 在函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象上．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 图象上的两点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 满足 $x_{1} \in (0, \frac{π}{3})$ ， $x_{2} - x_{1} = \frac{π}{3}$ ，求四边形OMQN面积的最大值．

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $(\sin A + \sin B) (\sin A - \sin B) = \sin C (\sin B + \sin C)$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 上一点，且 $A D$ 为角 $A$ 的平分线， $4 b + c = 27$ ，求 $A D$ 的最大值．

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16、如图，已知点 $P$ 在圆柱 $O O_{1}$ 的底面圆 $O$ 上， $A B$ 为圆 $O$ 的直径， $O A = 2$ ， $∠ A O P = 120^{°}$ ，三棱锥 $A_{1} - A P B$ 的体积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求圆柱 $O O_{1}$ 的表面积；

(2)、求三棱锥 $A_{1} - A P B$ 外接球的体积.

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17、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面边长分别为1和2，且 $B B_{1}$ 与 $D D_{1}$ 所在直线互相垂直，则该棱台的体积为．

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18、设 $O$ 是原点，向量 $\vec{O A}, \vec{O B}$ 对应的复数分别为 $2 - 3 i, - 4 + i$ ，那么向量 $\vec{B A}$ 对应的复数是．

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19、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 平分 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影向量相等 D、 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$

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20、若复数 $z = \frac{3 - 5 i}{1 - i}$ ，则（）

A、 $|z| = \sqrt{17}$ B、 $z$ 的实部与虚部之差为 $5$ C、 $\bar{z} = 4 + i$ D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限

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