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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若 $\exists x_{0} \in D$ 使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称实数 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的不动点．设函数 $f (x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{x} (x > 0)$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的不动点；

(2)、 $\forall s, t \in [m, + \infty)$ ， $s \neq t$ ，都有 $|\frac{f (s) - f (t)}{s - t}| < \frac{1}{2}$ 成立，求实数 $m$ 的最小值；

(3)、记 $f_{1} (x) = f (x)$ ， $f_{n + 1} (x) = f [f_{n} (x)] (n \in N^{*})$ ．试问是否存在常数 $a$ ，使得对任意 $n \in N^{*}$ ， $x > 0$ ，都有 $|f_{n + 1} (x) - a| \leq {(f_{n} (x) - a)}^{2}$ ．若存在，求出 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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2、已知函数 $f (x) = 2 sin x (a cos x - sin x) + 1$ ．

(1)、若 $f (\frac{π}{4}) = 1$ ，求 $a$ 的值；

(2)、已知函数 $y = f (x) - a$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{4})$ 上存在零点，求 $a$ 的最小值；

(3)、当 $a > 0$ 时，若函数 $y = f (x)$ 的图象在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{π}{4})$ 上恰有一条对称轴，求 $a$ 的取值范围．

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3、已知函数 $f (x) = ln (1 + \frac{1}{x})$ ．

(1)、求 $f (- 2) + f (1)$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(3)、证明：曲线 $y = f (x)$ 是中心对称图形．

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4、已知函数 $y = f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，函数图象经过 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ ，且 $(\frac{5 π}{3}, 1)$ 为一个最高点．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式和单调递增区间；

(2)、把 $y = f (x)$ 图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变）后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象．已知 $g (α) = - \frac{1}{3}$ ，求 $cos (2 α - \frac{2 π}{3})$ 的值．

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5、已知函数 $f (x) = |x - 2|$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (a x) < f (x) (a > 0)$ 有且仅有一个整数解，则 $a$ 的取值范围是．

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6、 $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的最大者，记为 $M (x) = max \{f (x), g (x)\}$ ．若函数 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = x + a$ ，下列关于函数 $M (x)$ 的说法中正确的有（）

A、若 $a = 0$ ，则 $M (x)$ 为偶函数 B、若 $a = 2$ ，则 $M (x)$ 有最小值1 C、当 $a > 0$ 时，则 $M (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 D、若 $M (x)$ 的图象经过坐标原点，则 $- \frac{1}{4} \leq a \leq 0$

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7、已知 $sin 8 ° = m$ ，下列式子中正确的有（）

A、 $cos (- 8 °) = \sqrt{1 - m^{2}}$ B、 $cos 98 ° = - m$ C、 $sin 172 ° = - m$ D、 $tan 548 ° = \frac{m}{\sqrt{1 - m^{2}}}$

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8、已知函数 $f (x) = ln (e^{x} + e^{- x} + t)$ 有最小值，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $t \geq - 1$ B、 $t > - 1$ C、 $t \geq - 2$ D、 $t > - 2$

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9、在三角形 $A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $\frac{\cos A}{\cos B} = \frac{2}{1 - \tan A \tan C}$ ，则角 $C$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10、“ $θ = k π$ ， $k \in Z$ ”是“函数 $f (x) = tan (x + θ)$ 是奇函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、对于函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ ，则不存在零点的区间是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(3, 5)$

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12、命题“ $\forall x > 0, cos x < x$ ”的否定是（）

A、“ $\exists x > 0$ ， $cos x \geq x$ ” B、“ $\exists x > 0$ ， $cos x < x$ ” C、“ $\forall x \leq 0$ ， $cos x < x$ ” D、“ $\forall x \leq 0$ ， $cos x \geq x$ ”

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13、已知函数 $f (x) = x (a + x^{2})$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $3 x + y + 1 = 0$ 平行.

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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14、已知函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} + 2 a f (x) - e^{2} - a e$ 恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - e)$ B、 $(- e, 0)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{e})$ D、 $(- \frac{1}{e}, 0)$

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{3} + a_{6} + a_{9} + \dots + a_{3 n} = \frac{3}{4} n (n + 1) (n \in N_{+})$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公差为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、已知函数 $f (x) = \ln (x + a)$ .
（1）当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；
（2）当 $a = 1$ 时，求函数 $F (x) = x - \frac{1}{2} t x^{2} - f (x) (t \in R)$ 的单调区间；
（3）当 $a = 0$ 时，函数 $y = g (x)$ 的图像与 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称.若不等式 $[k \cdot g (x) - 1] \cdot x \geq f (x) + 1$ 对 $x > 0$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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17、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (2, \sqrt{2})$ ，一个焦点 $F$ 的坐标为 $(2, 0)$ .
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）设直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $k_{O A} \cdot k_{O B} = \frac{1}{3}$ ，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的取值范围.

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18、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、证明： $D_{1} E ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、求平面 $A D_{1} E$ 与平面 $A C D_{1}$ 夹角的余弦值．

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19、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = - 5$ ， $S_{5} = - 20$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最小值．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{2 x}} + 2 x^{2}$ ， $g (x) = 4 m - ln x$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq x g (x)$ 有解，则 $m$ 的最小值是.

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