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相关试卷

1、设 $z$ 为复数，下面四个命题中，真命题的是（）

A、若 $|z - 1 |=| z + 1|$ ，则 $z$ 为纯虚数 B、 $z \cdot \bar{z} = | \bar{z} |^{2}$ C、若 $1 < |z - 1 + i| < 2$ ，则点 $z$ 的集合构成的图形的面积为 $π$ D、若复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $|z_{1}| = |z_{2}| = 2, z_{1} + z_{2} = \sqrt{3} + i$ ，则 $|z_{1} - z_{2}| = 2 \sqrt{3}$

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2、下列命题正确的是（）

A、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 不共线， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可以作为平面向量的一组基底 B、在 $△ A B C$ 中， $a = 9, b = 10, A = 60 °$ ，则这样的三角形有两个 C、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、已知 $\vec{a} = (3, - 2), \vec{b} = (1, k)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $k$ 的取值范围为 $(8, + \infty)$

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3、已知正四面体 $P - A B C$ 内接于球 $O$ ，球 $O$ 半径为3， $E$ 为 $B C$ 的中点，过点 $E$ 作球 $O$ 的截面，求截面圆半径的最小值（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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4、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2, B C = B B_{1} = \sqrt{2}, E$ 为线段 $B_{1} C$ 的中点， $F$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，若点 $P$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点，则 $P E + P F$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $1 + \sqrt{2}$

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5、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{c}{b} + \frac{2 b}{c} = 4 \cos A$ ， ${sin}^{2} B - {sin}^{2} C = 2 {sin}^{2} A$ ，则 $cos B =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{8}$

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6、已知 $cos (\frac{π}{8} - α) = \frac{2}{5}$ ，则 $cos (\frac{3}{4} π + 2 α) =$ （）

A、 $\pm \frac{4}{25} \sqrt{21}$ B、 $\frac{4}{25} \sqrt{21}$ C、 $- \frac{17}{25}$ D、 $\frac{17}{25}$

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7、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, | \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 4$ ，则“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线”是“ $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、如图，正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（）

A、8cm B、 $4 \sqrt{2} cm$ C、4cm D、 $(2 + 2 \sqrt{3}) cm$

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9、已知 $A = \{x |\frac{1 - x}{x + 2} \geq 0\}$ ， $B = \{x| 1 < 2^{- x} < 16\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 0)$ B、 $(- 4, 1]$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(- 4, 1)$

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10、已知复数 $z = {(1 - i)}^{2}$ ，则复数 $z$ 的虚部是（　　）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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11、高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过 $m$ ( $40 < m \leq 100$ )人时，每增加 $1$ 人，人均收费降低 $1$ 元；超过 $m$ 人时，人均收费都按照 $m$ 人时的标准．设景点接待有 $x$ 名游客的某团队，收取总费用为 $y$ 元．
（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；
（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求 $m$ 的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = a^{x}^{- 1} (a ＞ 0, a \neq 1)$ 的图象经过点 $(3 ， \frac{1}{9})$ ．
（1）求 $a$ 的值；
（2）求函数 $f (x) = a^{2 x} - a^{x}^{- 2} + 8$ ，当 $x \in [- 2 ， 1]$ 时的值域．

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13、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 2 x$ ；
（1）求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式并画出函数 $f (x)$ 的图象（不要求列表描点，只要求画出草图）
（2）（ⅰ）写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间；
（ⅱ）若方程 $f (x) + m =0$ 在 $[0, + \infty)$ 上有两个不同的实数根，求实数 $m$ 的取值范围．

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14、已知 $A = {x | y = \sqrt{x^{2} + x - 1}}$ ， $B = {x | 1 - m \leq x \leq 1 + m}$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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15、国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量 $N (mg/L)$ 与时间的关系 $N = N_{0} e^{- k t}$ （ $N_{0}$ 为最初污染物数量）.如果前3个小时消除了 $20 %$ 的污染物，那么污染物消除至最初的 $64 %$ 还要（）

A、 $2.6$ 小时 B、3小时 C、3.2小时 D、4小时

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16、已知函数 $f (x) = x^{2} + (2 a - 1) x + 1$ ，若对区间 $(2, + \infty)$ 内的任意两个不等实数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $[- \frac{5}{2}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{5}{2}]$

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17、设 $x \in R$ ，则“ $x \geq 1$ ”是“ $x^{2} - x \geq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知集合 $A = \{1, a, a^{2} - 1\}$ ， $B = \{0, 1\}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则a＝（）

A、0或 $- 1$ B、0或1 C、1或 $- 1$ D、0

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19、已知函数 $f_{n} (x) = \ln x - \frac{n}{x} + 1$ （ $n \in N^{*}$ ），且 $f_{n} (x)$ 有唯一零点 $a_{n}$ .

(1)、证明： $f_{1} (x) \geq 2 - \frac{2}{x}$ ；

(2)、证明： $2 \ln \frac{n + 2}{2} < \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leq 2 \sqrt{n} - 1$ ；

(3)、判断数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由.

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20、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的虚轴长为2，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求双曲线E的标准方程：

(2)、过点 $M (1, 0)$ 的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点 $C (2, \sqrt{3})$ ，直线BC与直线 $x = 3$ 交于点N.
（ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值：
（ⅱ）记 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为 $△ M B C$ ， $△ A B N$ 的面积，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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