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相关试卷

1、已知 $f (x) = x ln (x - 1) - a x (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求a的取值范围；

(2)、若 $y = f (x)$ 有极大值m，求证： $m < - 4.$

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边 $a, b, c$ 成公差为2的等差数列．

(1)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求a的取值范围；

(2)、若 $7 sin A = 3 sin C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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3、三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1： $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{1}{2} A B \cdot A C sin A = \frac{1}{2} \vec{A B} \cdot \vec{A C} tan A$ ；
性质2：对于 $△ A B C$ 内任意一点P，有 $\vec{A B} \cdot \vec{A P} + \vec{B C} \cdot \vec{B P} + \vec{C A} \cdot \vec{C P} = \vec{A B} \cdot \vec{A C} + \vec{B C} \cdot \vec{B A}$ $+ \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ ；
性质3： $△ A B C$ 内存在唯一一点P，使得 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = α$ ．这个点P称为 $△ A B C$ 的“勃罗卡点”，角α称为 $△ A B C$ 的“勃罗卡角”．
若 $△ A B C$ 的三边长分别为1，1， $\sqrt{3}$ ，根据以上性质，可以计算出 $△ A B C$ 的“勃罗卡角”的正切值为．

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 各项不为零，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，则 $a_{13} =$ ．

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5、已知集合 $A = \{x |ln x < 1\}$ ， $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为．

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6、已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的连续函数，满足 $\forall x, y \in R$ 有 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ，且 $f (1) = 1$ ．则下列说法中正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 的一个周期为6 D、 $(\frac{3}{2}, 0)$ 是 $f (x)$ 的一个对称中心

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7、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为6，点P为线段 $A_{1} B$ 上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（）

A、三棱锥 $P - C_{1} C D$ B、三棱锥 $P - B_{1} D_{1} D$ C、三棱锥 $P - D_{1} B_{1} C$ D、三棱锥 $P - D_{1} A C$

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8、现从甲、乙两名射击运动员中选择一人参加大型选拔赛，各进行了10次射击，射击成绩（单位：环）如下表所示：
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
7
7
8
9
8
9
10
9
9
9
乙
8
9
7
8
10
7
10
10
7
10
依据该次选拔赛成绩，下列说法中正确的是（）

A、甲的平均成绩高于乙的平均成绩 B、预计对手平均成绩较差，稳定发挥水平就能获得冠军，则选择乙参加比赛 C、预计对手平均成绩9.2环，则选择乙参加比赛 D、预计对手平均成绩8.8环，则选择甲参加比赛

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9、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， P为双曲线C第一象限上一点， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线为l，过点O作 $P F_{2}$ 的平行线，分别与 $P F_{1}$ ， l交于M，N两点，若 $|M N| = \frac{2}{3} |P F_{2}|$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、20 B、12 C、24 D、10

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10、直线 $y = 2 x$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 交于A，B两点， $|O A| = \sqrt{5}$ ，则 $|O B| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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11、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，若 $a_{2} + 4 a_{4} = 4 a_{3}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - 2 x, x < 0 \\ 2^{x}, x \geq 0 \end{matrix}$ ，则方程 $f (x) = 8$ 所有的根之和为（）

A、1 B、2 C、5 D、7

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13、已知复数z满足 $z + 2 \bar{z} = 6 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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14、 ${(x + 1)}^{5}$ 的展开式中含 $x$ 项的系数为（）

A、 $- 10$ B、 $- 5$ C、10 D、5

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15、中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则扇子的圆心角应为（）

A、 $(3 - \sqrt{5}) π$ B、 $(3 \sqrt{5} - 6) π$ C、 $\frac{(\sqrt{5} - 1) π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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16、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $6, E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是 $B C$ 边上靠近点 $B$ 的三等分点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ .

(1)、求 $∠ E M F$ 的余弦值.

(2)、若点 $P$ 自 $A$ 点逆时针沿正方形的边运动到 $A$ 点，在这个过程中，是否存在这样的点 $P$ ，使得 $E F ⊥ M P$ ？若存在，求出 $M P$ 的长度，若不存在，请说明理由.

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \cos B = (2 c - b) \cos A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、当 $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{12}]$ 时，求证： $f (x) \geq - \sqrt{3}$ .

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19、已知 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；

(1)、若 $a^{2} - b^{2} - c^{2} - b c = 0$ ，求角A的值；

(2)、若 $b = 4$ ， $a = 4 \sqrt{3}$ ， $A = 120 °$ ，解这个三角形并求出 $△ A B C$ 的面积.

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20、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $|\vec{a} - λ \vec{b}| (λ \in R)$ 的最小值是.

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次数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
甲	7	7	8	9	8	9	10	9	9	9
乙	8	9	7	8	10	7	10	10	7	10