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相关试卷

1、已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆圆心， $O A = 2, ∠ B A C = 45^{\circ}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O C}$ 的最大值为.

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2、请写出一个模为5，虚部为 $- 4$ 的复数 $z =$ .

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3、如图，在棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N, P$ 分别是 $C_{1} D_{1}, C_{1} C, A_{1} A$ 的中点，则（）

A、 $M, N, B, A_{1}$ 四点共面 B、若 $a = 2$ ，则异面直线 $P D_{1}$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、平面 $P M N$ 截正方体所得截面为等腰梯形 D、若 $a = 1$ ，则三棱锥 $P - M D_{1} B$ 的外接球的体积为 $\frac{5 \sqrt{10} π}{24}$

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4、下列命题正确的是（）

A、若 $z = (a^{2} - 1) + (a^{2} - 2 a - 3) i$ 为纯虚数， $a \in R$ ，则 $a = \pm 1$ B、若 $(m + n) + (m - 2 n) i = - 1 + 5 i, m, n \in R$ ，则 $m = 1, n = - 2$ C、若复数 $z$ 满足 $|z + (1 - i)| = 2$ ，则 $z$ 在复平面内对应点的轨迹为以 $(1, - 1)$ 为圆心，2为半径的圆 D、若 $- 4 + 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的根，则 $p = 8$

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5、设点 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列说法不正确的是（）

A、若 $|\vec{A B}| = |\vec{A C}| = |\vec{M B} - \vec{M C}|$ ，则 $△ A B C$ 的形状为等边三角形 B、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}, \vec{B C} = \vec{a}, \vec{C A} = \vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 C、已知点 $O$ 是平面上的一个定点，并且A，B， $C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) (λ \in (0, + \infty))$ ，则点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的内心 D、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (1, 1), \vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$

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6、我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（）（注：1丈=10尺）

A、 $2800$ 立方尺 B、 $3640$ 立方尺 C、3892立方尺 D、11676立方尺

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7、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $|2 \vec{a} - \vec{b}| = 5$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 4$ C、 $- 5$ D、 $- 10$

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8、已知复数 $z = \frac{i}{2 + i}$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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9、已知函数 $f (x) = \tan (π x - \frac{π}{3})$ ，下列说法正确的是（）

A、1是 $f (x)$ 的周期 B、 $f (x)$ 的定义域为 $\{x |x \neq k + \frac{π}{6}, k \in Z\}$ C、 $f (- \frac{1}{4}) < f (\frac{1}{4})$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{1}{6}, 0)$ 对称

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10、若一个扇形的半径为4，圆心角为 $\frac{π}{6}$ ，则这个扇形的面积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{3π}{2}$

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11、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A A_{1} = 8$ ，点 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ 、 $D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}$ 、 $B B_{1}$ 、 $C C_{1}$ 、 $D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 2$ ， $B B_{2} = D D_{2} = 4$ ， $C C_{2} = 6$ ．

(1)、求证： $B_{2} C_{2} // A_{2} D_{2}$ ；

(2)、求三棱锥 $A - A_{2} C_{2} D_{2}$ 的体积；

(3)、点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P - A_{2} C_{2} - D_{2}$ 大小为 $\frac{5 π}{6}$ 时，求线段 $B_{2} P$ 的长．

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12、已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 110$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{4}$ 成等比数列
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{(a_{n} - 1) (a_{n} + 1)}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 前n项和 $T_{n}$ ，证明 $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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13、抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点F恰好是圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的圆心，过点F且倾斜角为 $45 °$ 的直线l与C交于不同的A，B两点，则 $|A B| =$ ．

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14、若函数 $f (x) = \frac{m cos x}{1 + e^{x}} - cos x$ 为奇函数，则实数m的值为．

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15、费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点 $P$ 为双曲线 $(F_{1}, F_{2}$ 为焦点）上一点，点 $P$ 处的切线平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ .已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, O$ 为坐标原点，点 $P (3, \frac{\sqrt{5}}{2})$ 处的切线为直线 $l$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $M$ ，若 $|O M| = 2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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16、如图l，在高为h的直三棱柱容器 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = a$ ， $A B ⊥ A C$ ，现往该容器内灌进一些水，水深为 $h^{'}$ ，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为 $A_{1} B_{1} C$ （如图2），则 $\frac{h^{'}}{h}$ =（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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17、已知两个等差数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的首项分别为1和2，且 $a_{10} + b_{10} = 30$ ，则数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前20项的和为（）

A、165 B、630 C、60 D、330

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18、已知向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{c} = (1, 3)$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则实数 $m$ 为（）

A、-4 B、-3 C、4 D、3

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19、通过抛掷骰子产生随机数列 $\{a_{n}\}$ ，具体产生方式为：若第 $k (k = 1, 2, 3, \dots, n)$ 次抛掷得到点数 $i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ ，则 $a_{k} = i$ ．记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, X_{n}$ 为 $S_{n}$ 除以4的余数．

(1)、若 $n = 2$ ，求 $S_{2} = 4$ 的概率；

(2)、若 $n = 2$ ，比较 $P (X_{2} = 0)$ 与 $P (X_{2} = 3)$ 的大小，说明理由；

(3)、若 $n = 20$ ，设 ${(x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6})}^{20} = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{120} x^{120}$ ，试确定该展开式中各项系数与事件 $S_{n} = j (j \in N_{+}, j \leq 120)$ 的联系，并求 $X_{20} = 0$ 的概率．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过点 $P (4, 0)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 上方），当 $l$ 的斜率为 $- \frac{1}{4}$ 时，点 $A$ 恰与椭圆的上顶点重合．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $M (1, 0)$ ，设直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，设 $△ A M B$ 的外接圆圆心为 $E$ ，点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ．
（ⅰ）求 $k_{1} + k_{2}$ 的值；
（ⅱ）求证： $M E ⊥ P D$ ．

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