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相关试卷

1、已知 $\cos θ = \frac{3}{5}$ ， $θ \in (π, 2 π)$ ，求 $sin (θ + \frac{π}{6})$ 以及 $tan (θ - \frac{π}{4})$ 的值．

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2、 $\sin 31 ° \cos 59 ° + \cos 31 ° \cos 31 ° =$ .

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3、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} |$ 的值.

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4、已知 $sin α = - \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α$ 的值为.

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5、设函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) + \cos (2 x + \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的最大值为2 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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6、已知直角三角形 $A B C$ 中， $\vec{A B} = (2, 3)$ ， $\vec{A C} = (1, k)$ ，则实数k的值可以为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{11}{3}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

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7、某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出 $N$ 名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间 $[90, 100]$ 内的学生人数为2人．则（）

A、 $x$ 的值为0.015， $N$ 的值为40 B、平均分为72，众数为75 C、中位数为75 D、已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人

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8、如图， $α$ ， $β$ 是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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9、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{2 π}{3}, A C = 2 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $A B =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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10、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = 6$ ， $\sin A = \frac{3 \sqrt{7}}{8}$ ， $\cos B = \frac{9}{16}$ ，则 $b =$ （）

A、8 B、5 C、4 D、3

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11、平行四边形 $O A B C$ （ $O$ 是原点， $O, A, B, C$ 按逆时针排列）， $A (1, 2), B (- 3, 7)$ ，则 $C$ 点坐标（）

A、 $(- 4, 5)$ B、 $(- 4, 4)$ C、 $(- 3, 5)$ D、 $(- 5, 4)$

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12、 $\sin 145 ° \cos 35 ° =$ （）

A、 $- \sin 70 °$ B、 $- \frac{1}{2} \sin 70 °$ C、 $\sin 70 °$ D、 $\frac{1}{2} \sin 70 °$

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13、若复数 $z = \frac{a + 2 + a i}{3 - i}$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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14、已知向量 $|\vec{a}| = 10$ ， $|\vec{b}| = 12$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 60$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $60^{°}$ B、 $120^{°}$ C、 $135^{°}$ D、 $150^{°}$

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15、函数 $f (x) = ln x$ 图象上的点到直线 $y = x$ 的距离的最小值是（）

A、 $\frac{ln 2}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为 $A, F (c, 0)$ 是双曲线 $C$ 的右焦点，点 $P$ 在直线 $x = 2 c$ 上，且 $tan ∠ A P F$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $4 + 2 \sqrt{7}$

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17、在平面内，若点P，Q分别是直线l与圆C上的动点，则称 $| P Q |$ 的最小值为直线l与圆C的“线圆距离”，类比到空间中，若点P，Q分别是平面 $α$ 内与球M表面上的动点，则称 $| P Q |$ 的最小值为平面 $α$ 与球M的“面球距离”．如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D // B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = 2 A B = 2 B C = 8$ ， $A A_{1} = 4$ ，点 $E$ 在线段AD上，且 $A E = 2$ ，点 $F$ 在线段 $A_{1} D_{1}$ 上．

(1)、求直线CD与 $△ A B E$ 外接圆的“线圆距离”；

(2)、求平面 $C D D_{1} C_{1}$ 与三棱锥 $A_{1} - A B E$ 外接球的“面球距离”；

(3)、当平面 $F C D$ 与三棱锥 $A_{1} - A B E$ 外接球的“面球距离”为零时，求 $|A_{1} F|$ 的最大值．

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点 $A$ 和下顶点 $B$ ，过其右焦点 $F$ 的直线 $2 x - y - 2 = 0$ 交椭圆 $C$ 于B，D两点．

(1)、求 $| B D |$ 的值；

(2)、若 $∠ A F D$ 的角平分线交直线 $x = 5$ 于点 $E$ ，证明：E，A，B三点共线．

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19、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = P D = 6$ ， $E$ 为线段AD的中点， $F$ 为PC上的一点，且 $\vec{C F} = 2 \vec{F P}$ ．

(1)、求直线EF与平面 $P B D$ 所成的角的正弦值；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $P A D$ 的夹角的余弦值．

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 的倾斜角为45°，且经过点 $P (- 1, 2)$ ．

(1)、求 $l_{1}$ 与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)、若直线 $l_{2} ⊥ l_{1}$ ，且 $P$ 到 $l_{2}$ 的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，求 $l_{2}$ 的方程．

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