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相关试卷

1、“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动 $.$ 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.

(1)、某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为 $B$ 、 $C$ 两类，抽到较易的 $B$ 类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的 $C$ 类并答对购物打七折优惠 $.$ 抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有 $8$ 张完全相同的卡片，其中 $3$ 张写有 $A$ 字母， $3$ 张写有 $B$ 字母， $2$ 张写有 $C$ 字母，顾客每次不放回从箱中随机取出 $1$ 张卡片，若抽到写有 $A$ 的卡片，则再抽 $1$ 次，直至取到写有 $B$ 或 $C$ 卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有 $C$ 的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率.

(2)、小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到 $n$ 条灯谜 $($ 不妨设每条灯谜的适合度各不相同 $)$ 最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前 $k (1 \leq k < n)$ 条灯谜，自第 $k + 1$ 条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条 $.$ 设 $k = t n$ ，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为 $P$ .
（i）若 $n = 4, k = 2$ ，求 $P$ ；
（ii）当 $n$ 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 $P$ 的最大值及 $P$ 取最大值时 $t$ 的值.
（取 $\frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \dots + \frac{1}{n - 1} = ln \frac{n}{k}$ ）

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2、对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如 $\{2, 3, 5\}$ 的“交替和”是 $5 - 3 + 2 = 4, \{5\}$ 的“交替和”是5.

(1)、求集合 $\{1, 2, 3\}$ 的所有非空子集的交替和的总和；

(2)、已知集合 $T = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，求集合 $T$ 所有非空子集的元素和的总和；

(3)、已知集合 $M_{n} = {a_{k} |a_{k} = 5 - 2 k, k = 1, 2, \dots, n}$ ，其中 $n \in N^{*} ，$ 求集合 $M_{n}$ 所有非空子集的交替和的总和.

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3、某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段

， A ， B

两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对

15

至

45

岁的人群，按比例随机抽取了

300

份，进行了数据统计，具体情况如下表：

年龄 $＼$ 组别	$A$ 组统计结果		$B$ 组统计结果
年龄 $＼$ 组别	经常使用单车	偶尔使用单车	经常使用单车	偶尔使用单车
$[15 ， 25)$	$27$ 人	$13$ 人	$40$ 人	$20$ 人
$[25 ， 35)$	$23$ 人	$17$ 人	$35$ 人	$25$ 人
$[35 ， 45]$	$20$ 人	$20$ 人	$35$ 人	$25$ 人

(1)、先用分层抽样的方法从上述

300

人中按“年龄是否达到

35

岁”抽出一个容量为

60

人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到

35

岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.

$①$ 求这 $60$ 人中“年龄达到 $35$ 岁且偶尔使用单车”的人数；

$②$ 为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到 $35$ 岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有 $3$ 份礼品赠送给其中 $3$ 人，每人 $1$ 份 $($ 其余人员仅赠送骑行优惠券 $) .$ 已知参加座谈会的人员中有且只有 $4$ 人来自 $A$ 组，求 $A$ 组这 $4$ 人中得到礼品的人数 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、根据已有数据，完成下列2×2列联表(单位：人)，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为“经常使用共享单车与年龄（35岁）有关”？

	经常使用单车	偶尔使用单车	合计
未达到35岁
达到35岁
合计

参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ，$ 其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (χ^{2} \geq χ_{α})$	0.050	0.010	0.001
$χ_{α}$	3.841	6.635	10.828

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4、已知函数 $f (x) = (m + 1) x^{2} - m x + m - 1 (m \in R)$ .

(1)、当 $m > - 2$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq m$ ；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 对于任意 $x \in [- 2, 1]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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5、在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答.
条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50；
条件②：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等.
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*}) ，$ 若________，求：

(1)、求 $n$ 和展开式中二项式系数最大的项；

(2)、从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法.（有理项指所有字母的指数恰好都是整数的项）

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6、甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学相约到电影院观看电影《哪吒2》，恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为. $($ 用数字作答 $)$ .

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7、已知随机变量 $X ~ B (6, p)$ ， $Y ~ N (μ, σ^{2})$ ，且 $P (Y \geq 4) = \frac{1}{2}$ ， $E (X) = E (Y)$ ，则 $p =$ .

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8、某区四所高中各自组建了排球队 $($ 分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队” $)$ 进行单循环比赛 $($ 即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛 $) ，$ 最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得 $3$ 分，平一场得 $1$ 分，负一场得 $0$ 分 $.$ 若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为 $\frac{1}{3} ，$ 且每场比赛结果相互独立，则在比赛结束时（）

A、甲队积分为 $9$ 分的概率为 $\frac{1}{27}$ B、不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C、甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 $\frac{1}{27}$ D、甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 $\frac{8}{243}$

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9、下列说法正确的有（）

A、 $a + \frac{1}{a}$ 的最小值为 $2$ B、已知 $a > 0, b > 0, a b = a + b + 3$ ，则 $a b$ 的取值范围是 $[9, + \infty)$ C、已知 $a > 0, b > 0, a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{a^{2} + 1}{a} + \frac{4 b^{2} + 1}{2 b}$ 的最小值为4 D、已知 $a > b > 0, \frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b} = 4$ ，则 $5 a - 4 b$ 最小值为2

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10、已知由样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 8)$ 组成的一个样本，得到回归直线方程为 $\hat{y} = 2 x - 0.4$ 且 $\bar{x} = 2$ ，去除其中两个点 $A (- 2, 7)$ 和 $B (2, - 7)$ 后，得到新的回归直线的 $\hat{b} = 3 .$ 则下列说法正确的是（附：样本点 $(x_{i}, y_{i})$ 的残差 $\hat{e_{i}} = y_{i} - {\hat{y}}_{i}$ ）（）

A、相关变量 $x, y$ 具有正相关关系 B、去除点 $A, B$ 后的回归直线方程为 $\hat{y} = 3 x - 3.2$ C、去除点 $A, B$ 后，随 $x$ 值增加相关变量 $y$ 值增加速度变小 D、去除点 $A, B$ 后，样本点 $(4, 8.9)$ 的残差为 $0.1$

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11、将六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3且一端固定的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A，B的颜色必须相同，则一共有（）种不同的放置与上色方式

A、11232 B、10483 C、10368 D、5616

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12、互不相等的正实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in \{2, 4, 5, 9\}, x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, x_{i_{3}}, x_{i_{4}}$ 是 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的任意顺序排列，设随机变量 $X, Y$ 满足： $\{\begin{matrix} X = \max \{m i n \{x_{i_{1}}, x_{i_{2}}\}, m i n \{x_{i_{3}}, x_{i_{4}}\}\} \\ Y = \min \{m a x \{x_{i_{1}}, x_{i_{2}}\}, m a x \{x_{i_{3}}, x_{i_{4}}\}\} \end{matrix}$ ，则（）

A、 $E (X) < E (Y), D (X) > D (Y)$ B、 $E (X) < E (Y), D (X) = D (Y)$ C、 $E (X) > E (Y), D (X) > D (Y)$ D、 $E (X) > E (Y), D (X) = D (Y)$

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13、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.7，0.2，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，则顾客买下该箱的概率为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{43}{50}$ C、 $\frac{437}{475}$ D、 $\frac{877}{950}$

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14、不等式 $2 | x + 2 | + | x - 1 | \geq 5$ 成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $x \leq - 1$ 或 $x \geq 0$ B、 $x \geq 0$ C、 $x \leq - \frac{8}{3}$ 或 $x \geq 0$ D、 $x \geq 1$

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15、 $(1 - \frac{1}{x}) {(2 x - 1)}^{8}$ 的展开式中的常数项为（）

A、17 B、16 C、 $- 16$ D、 $- 17$

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16、命题“ $\exists x > 0, x^{2} - a x + b < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0, x^{2} - a x + b \geq 0$ B、 $\exists x \leq 0, x^{2} - a x + b < 0$ C、 $\forall x \leq 0, x^{2} - a x + b \geq 0$ D、 $\forall x > 0, x^{2} - a x + b \geq 0$

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17、已知集合 $A = {x | x = 5 n + 1, n \in N} ， B = {y | 0 < y < 21, y \in N} ，$ 则集合 $A \cap B$ 的子集的个数为（）

A、4个 B、8个 C、16个 D、32个

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， E的左顶点N到点 $M (1, 1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$ ．

(1)、求椭圆E的标准方程．

(2)、过点M作斜率和为2的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与E交于A，B两点和C，D两点．
（i）若 $△ M N B$ （点B在点A的下方）的面积为 $\frac{5}{2}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；
（ii）设AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 3$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + n + 1$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列．

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

(3)、设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n = 2 k - 1, \\ a_{n} + 2, n = 2 k, \end{array}$ $k \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{c_{i}} < \frac{3}{2}$ ．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D = A D = 2 A B = 2$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $O$ 为 $A D$ 的中点， $A B ∥$ 平面 $P O C$ .

(1)、证明： $P C ⊥ B D$ ．

(2)、求三棱锥 $P - A B D$ 的外接球 $Q$ 的表面积．

(3)、若 $B D = B C$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的正弦值．

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