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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 13 - 8 x + \sqrt{2} x^{2}$ ，且 $f^{'} (a) = 4$ ，则实数 $a$ 的值.

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2、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C} + μ \vec{A D_{1}}$ ，其中 $λ \in (0, 1)$ ， $μ \in (0, 1)$ ，则（）

A、平面 $P A C ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C D$ B、当 $λ + μ = 1$ 时，三棱锥 $A_{1} - P B C_{1}$ 的体积为定值 C、当 $μ = \frac{3}{4}$ 时，存在点 $P$ ，使得 $B P ⊥ P C_{1}$ D、当 $λ = \frac{3}{4}$ 时，存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} ⊥$ 平面 $P C D$

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3、已知定义域为 $[- 3, 5]$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 有极小值 $f (2)$ C、 $f (x)$ 有2个极值点 D、 $f (x)$ 在 $x = - 3$ 处取得最大值

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4、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R， $f (0) = 0$ 且 $f (x) + f^{'} (x) > 0$ ，则不等式 $f (x^{2} + 4 x - 5) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 5) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (5, + \infty)$ C、 $(- 5 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 5)$

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5、当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = \frac{a e^{x} + b}{x} (x > 0)$ 取得最小值 $2 e$ ，则 $a + b =$ （）

A、2 B、1 C、－1 D、－2

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6、曲线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2$ 在点 $(- 1, \frac{3}{2})$ 处切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3π}{4}$ D、 $- \frac{π}{4}$

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7、设集合 $A = \{1, q, q^{2}, \dots, q^{n - 1}\}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ， $q \geq 2$ 且 $q \in N^{*}$ ，将A中每个子集的元素和按照不减的顺序排列（空集 $\emptyset$ 的元素和记为0），可以得到一组整数 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， …， $b_{2^{n}}$ 其对应的子集分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， …， $B_{2^{n}}$ ，并定义 $b_{i} = S_{B_{i}}$ （ $S_{B_{i}}$ 表示 $B_{i}$ 中元素的和， $1 \leq i \leq 2^{n}$ .

(1)、若 $q = 2$ .
①求 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $b_{4}$ ；
②证明： $\{b_{n}\}$ 是等差数列.

(2)、若 $q \geq 3$ 且 $S_{B_{i}} \leq S_{B_{j}}$ ，证明： $S_{B_{j}} + (q - 2) S_{B_{i} \cap B_{j}} \geq (q - 1) S_{B_{i}}$ .

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8、已知函数 $f (x) = \log_{a} x (a > 1)$ ， $g (x) = x^{b} (0 < b \leq 1)$ .

(1)、直接判断 $\log_{2} 3$ 与 $\sqrt[3]{3}$ 的大小关系；

(2)、若 $\forall 1 < a \leq e$ ，函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有且仅有两个交点，求b的取值范围；

(3)、若 $a = 2$ ， $b = \frac{1}{2}$ ，求出函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的交点个数.

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9、甲，乙两人进行投篮比赛，有两种投篮方式：方式一，投两分球3次，进一球积2分；方式二，投三分球2次，进一球积3分.甲和乙投进两分球的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{2}{3}$ ，投进三分球的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ ，且两人投篮互不影响.先上场者可以任意选择一种投篮方式，后上场者只能选择另一种投篮方式，最终积分高者获胜.已知两人都会优先选择理论上平均积分更高的投篮方式.

(1)、试判断甲，乙两人会分别优先选择何种投篮方式；

(2)、现在由裁判随机选择上场顺序，在最终结果为甲获胜的条件下，求乙以一分之差惜败的概率.

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10、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $∠ B A C$ 为锐角，动点D在 $△ A B C$ 的边AC上， $P A = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 3 \sqrt{3}$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\sqrt{2}$ .

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面PAB.

(2)、当点P到直线BD的距离为 $\sqrt{3}$ 时，求PD与平面ABC所成的角.

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(\sin A + \sin B) (b - a) = c (\sin B - \sin C)$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若BC边上的高为3，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} + 3 x - 4$ ，设曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a_{n}, f (a_{n}))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $(a_{n + 1}, 0)$ $(n \in N^{*})$ ， $a_{1} > 1$ ， $a_{2} = \frac{8}{7}$ ，则 $a_{1} =$ ；设 $x_{1}, x_{2} (x_{1} > x_{2})$ 是函数 $f (x)$ 的零点， $b_{n} = \log_{6}$ $\frac{a_{n} - x_{2}}{a_{n} - x_{1}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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13、已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半，侧棱长为2，过侧棱中点且平行于底面的截面的边长为3，则正三棱台的体积为.

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14、在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为.（用数字作答）

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，那么（）

A、 $∠ A O B > \frac{π}{2}$ B、 $∠ A P B \leq \frac{π}{2}$ C、 $|A F| + 4 |B F|$ 的最小值为10 D、若PA与C相切，则PB也与C相切

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16、若方程 $\frac{x^{2}}{3 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 所表示的曲线为C，则下列说法正确的是（）

A、若 $t = 2$ ，则曲线C的长度为 $2 π$ B、若C为双曲线，则 $t < 1$ 或 $t > 3$ C、若C为椭圆，且焦点在 $x$ 轴上，则 $2 < t < 3$ D、若C为椭圆，则焦距为4

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17、下列说法正确的是（）

A、若A，B是两个随机事件，则 $P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)$ B、若随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ，则 $P (X < 0) = P (X > 2)$ C、相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度越强 D、数据1，2，5，7，9，11的上四分位数是9

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18、若函数 $f (x)$ 满足对任意 $n \in N^{*}$ ，恒有 $f (n) \geq 2 n$ ，且 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 4 x y$ ，则 $\sum_{i = 1}^{8} f (i)$ 的最小值是（）

A、 $408$ B、 $400$ C、 $204$ D、 $200$

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19、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为q，且 $a_{1} > 0$ ，则 $a_{n + 2} > a_{n}$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $a_{2} > a_{1}$ B、 $a_{4} > a_{2}$ C、 $a_{2} > 0$ D、 $a_{2} > 2 a_{1}$

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20、若函数 $f (x) = 2 \cos (2 ω x + \frac{π}{12}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上有且仅有两个极值点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{23}{12} < ω \leq \frac{47}{12}$ B、 $\frac{23}{12} < ω < \frac{47}{12}$ C、 $\frac{23}{12} < ω \leq \frac{35}{12}$ D、 $\frac{23}{12} < ω < \frac{35}{12}$

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