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相关试卷

1、已知 $| \overset{⃑}{O A} | = 1, | \overset{⃑}{O B} | = \sqrt{3}, \overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{O B} = 0$ |，点 $C$ 在 $∠ A O B$ 内，且 $∠ A O C = 30 °$ ，设 $\overset{⃑}{O C} = m \overset{⃑}{O A} + n \overset{⃑}{O B} (m, n \in R)$ ，则 $\frac{m}{n}$ 等于．

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2、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，将 $△ A C D$ 沿AC翻折到 $△ A C D^{'}$ 的位置，得到四面体 $D^{'} - A B C$ ，在翻折过程中，点 $D^{'}$ 始终位于 $△ A B C$ 所在平面的同一侧，且 $B D^{'}$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、四面体 $D^{'} - A B C$ 的外接球的表面积为 $8 π$ B、四面体 $D^{'} - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、点D的运动轨迹的长度为 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ D、边AD旋转所形成的曲面的面积为 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$

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3、已知复数 $z = \sqrt{3} + i$ ( $i$ 为虚数单位)， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共辄复数，若复数 $z_{0} = \frac{\bar{z}}{z}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z_{0}$ 在复平面内对应的点位于第四象限 B、 $|z_{0}| = 1$ C、 $z_{0}$ 的实部为 $\frac{1}{2}$ D、 $z_{0}$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2, \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{c} - 2 \vec{a} + 2 \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ $，$ 则 $| \vec{c} - λ \vec{b} | (λ \in R)$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 2$ B、 $2 \sqrt{3} - 2$ C、2 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3} + 2$

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5、洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底 $B$ 在同一平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = {75.52}^{\circ}, C D = 66 m$ ，在 $C$ 点测得九龙鼎顶端 $A$ 的仰角为 $45^{\circ}$ ，在 $D$ 点测得九龙鼎顶端 $A$ 的仰角为 $26^{\circ}$ ，则九龙鼎的高度 $A B =$ （）（参考数据：取 $tan 64^{\circ} = 2, cos {75.52}^{\circ} = \frac{1}{4}$ ）

A、 $44 m$ B、 $33 m$ C、 $40 m$ D、 $30 m$

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6、已知函数 $y = \sin (ω x + φ) (ω > 0, φ \in (0, 2 π))$ 的一条对称轴为 $x = - \frac{π}{6}$ ，且 $f (x)$ 在 $(π, \frac{4 π}{3})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、2 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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7、 $a = \sqrt{1 + \sin 52 °} + \sqrt{1 - \sin 52 °}$ ， $b = 4 \cos 31 ° \cos 59 °$ ， $c = \tan 115 ° - \tan 55 ° - \sqrt{3} \tan 115 ° \tan 55 °$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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8、 $\sin 68 ° \sin 67 ° - \sin 23 ° \cos 68 °$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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9、如图，在四边形ABCD中， $B A = B D = B C = 2, ∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $B E ⊥ A D, B F ⊥ C D$ ，设 $∠ F B C = α$ .①当 $B E = \sqrt{2}$ 时，BF的长为， ②四边形BFDE面积的最大值为.

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10、位于第一象限的一点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 满足 $x_{1}^{2} > 2 y_{1}$ ，过 $P_{1}$ 作 $x^{2} = 2 y$ 的切线，切点为 $A_{1} (x_{A_{1}}, y_{A_{1}})$ ，且满足 $x_{1} < x_{A_{1}}$ ，设 $P_{2} (x_{2,} y_{2})$ 为 $P_{1}$ 关于 $A_{1}$ 的对称点.

(1)、证明： $x_{1}^{2} - 2 y_{1} = x_{2}^{2} - 2 y_{2}$

(2)、（i）若过 $P_{2}$ 的另一条切线切 $x^{2} = 2 y$ 于 $A_{2}$ ，设 $P_{3}$ 为 $P_{2}$ 关于 $A_{2}$ 的对称点，如此重复进行下去，若 $P_{n + 1}$ 为 $P_{n}$ 关于切点 $A_{n}$ 的对称点，设 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ，证明： $\{x_{n}\}$ 为等差数列.
（ii）由ⅰ所设且 $P_{1} (1, 0)$ ，求 $|P_{2025} P_{2026}|$ 的值.

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11、已知函数 $f (x) = a \sin x + \ln (\frac{1 + x}{1 - x})$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 无极值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的极小值点，证明： $\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{4}{a}} < x_{0}^{2} < 1$ .

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12、已知整数数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $2 a_{n} = a_{n + 1} + a_{n - 1} (n \geq 2)$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比大于1的等比数列，且 $b_{1} + b_{2} + b_{3} = 14$ ， $b_{1} b_{2} b_{3} = 64$ .数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $a_{n} = c_{n} b_{n}$ .数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{c_{n}\}$ 前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，其中 $n^{2} < 2 S_{n} < {(n + 1)}^{2}$ .

(1)、求 $S_{n}$ 和 $b_{n}$

(2)、用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求数列 $\{[T_{n}]\}$ 的前2025项和 $M_{2025}$ .

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13、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $P$ 在底面的投影 $O$ 落在线段AD上.

(1)、证明： $A P ⊥ B C$ ；

(2)、若 $B C = 8$ ， $P O = 4$ ， $A O = 3$ ， $O D = 2$ ， $M$ 在线段 $A P$ 上，且满足平面 $A M C ⊥$ 平面 $B M C$ ，求直线 $B M$ 与直线 $C P$ 夹角的余弦值.

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14、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $B C = 1$ 且 $b cos C + \sqrt{3} c sin B = 1 + 2 c$ .

(1)、求 $∠ B$ 的大小.

(2)、如图所示， $D$ 为 $△ A B C$ 外一点， $∠ D C B = ∠ B$ ， $C D = \sqrt{3}$ ， $A C = A D$ ，求 $\sin ∠ B C A$ 值.

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15、若 $e^{a x + 1} - x \geq (a x + ln x + 1) (a x - ln x + 1)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16、已知P是直线 $l : x + y - 2 = 0$ 上的任意一点，若过点P作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别记为 $A, B$ ，则劣弧 $A B$ 长度的最小值为.

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17、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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18、设 $a$ 和 $b$ 是两个整数，如果 $a$ 和 $b$ 除以正整数 $m$ 所得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对于模 $m$ 同余，记作 $a \equiv b (mod m)$ .（）

A、若公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} \equiv a_{2} (mod q)$ ，则 $S_{n} \equiv a_{n} (mod q)$ B、若公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $S_{n} \equiv a_{n} (mod q)$ ，则 $a_{1} \equiv a_{2} (mod q)$ C、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 6$ ， $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，则 $S_{n} \equiv 1 (mod a_{2})$ D、若 $\{a_{n}\}$ 为公差 $d$ 的等差数列， $a_{1}$ ， $d \in N$ ，若 $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} a_{i + 1}$ ，则 $\exists n \in N^{*}$ 使 $T_{n} \equiv 0 (mod d^{2})$

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19、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别在线段 $A_{1} D$ 、 $A C$ 上运动（包括端点），则下列结论正确的是（）

A、正方体被经过 $P$ 、 $Q$ 两点的平面所截，其截面的形状有可能是六边形 B、 $P Q$ 不可能与 $A_{1} D$ 、 $A C$ 都垂直 C、 $P Q$ 有可能与正方体的六个表面所成的角都相等 D、线段 $P Q$ 的中点 $M$ 所围成的区域的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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20、下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $X \sim N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (3 < X < 4) = 0.2$ B、数据5，8，10，12，13的第40百分位数是8 C、在一元线性回归模型中，若决定系数 $R^{2} = 1$ ，则残差的平方和为0 D、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 和 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ 的方差分别为 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$ ，若 $x_{i} + y_{i} = 10$ 且 $x_{i} < y_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $S_{1}^{2} < S_{2}^{2}$

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