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相关试卷

1、一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}), i \in \{1, 2, 3, \dots, 100\}$ ．其中 $x_{i} > 1895$ ， $\sum_{i = 1}^{100} x_{i} = 2 \times 10^{5}$ ， $\sum_{i = 1}^{100} y_{i} = 970$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.02 x + \hat{a_{1}}$ ，残差为 $\hat{e_{i}}$ ．对样本数据进行处理： ${x^{'}}_{i} = ln (x_{i} - 1895)$ ，得到新的数据 $({x^{'}}_{i}, y_{i})$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.42 x + \hat{a_{2}}$ ，其残差为 ${\hat{u}}_{i}$ 、 $\hat{e_{i}}$ ， ${\hat{u}}_{i}$ 分布如图所示，且 $\hat{e} ~ N (0, σ_{1}^{2}), \hat{u} ~ N (0, σ_{2}^{2})$ ，则（）

A、样本 $(x_{i}, y_{i})$ 负相关 B、 $\hat{a_{1}} = 49.7$ C、 $σ_{1}^{2} < σ_{2}^{2}$ D、处理后的决定系数变大

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2、如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为 $6.5$ ，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为 $r$ 的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则 $r =$ （）

A、 $1.5$ B、2 C、3 D、 $3.25$

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3、已知曲线 $y = e^{x - 1}$ 与曲线 $y = a ln x + a (a > 0)$ 只有一个公共点，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、e D、 $e^{2}$

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4、已知双曲线 $E$ 的中心为原点，焦点在 $x$ 轴上，两条渐近线夹角为 $60 °$ ，且点 $(1, 1)$ 在 $E$ 上，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或2

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5、已知函数 $f (x)$ 的周期为 $2$ ，且在 $(0, 1)$ 上单调递增，则 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = sinπ x$ B、 $f (x) = |sin \frac{π}{2} x|$ C、 $f (x) = cos 2 π x$ D、 $f (x) = tanπ x$

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6、已知 $\frac{sin (α + β)}{sin (α - β)} = 3$ ，则 $\frac{tan α}{tan β} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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7、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (1, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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8、已知 $z = \frac{1 + 2 i}{2 - i}$ （i为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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9、集合 $M = \{x |\sqrt{x} < 2\}, N = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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10、甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的 $A$ 类问题以及难度系数较高的 $B$ 类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，甲遇到 $A$ 类问题时回答正确的概率为 $\frac{1}{2}$ ，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到 $B$ 类问题时回答正确的概率为 $\frac{1}{4}$ ，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立．

(1)、当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望．

(2)、设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为 $G (n)$ ．
（ⅰ）证明： $\{G (n + 1) - \frac{1}{2} G (n)\}$ 为等比数列．
（ⅱ）求 $G (n)$ 的最大值以及对应n的值．

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11、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，交于点P．点O为坐标原点，当 $△ O A B$ 为正三角形时，其面积为 $48 \sqrt{3}$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若直线 $A B$ 经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线 $A B$ 的距离的最小值．

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12、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍，P为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S B ∥$ 平面 $P A C$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ S D$ ．

(2)、求直线 $S B$ 到平面 $P A C$ 的距离．

(3)、请判断在平面 $P A C$ 上是否存在一点E，使得 $△ E S B$ 是以 $S B$ 为底边， $\frac{2 π}{3}$ 为顶角的等腰三角形．若存在，请求出点E的轨迹；若不存在，请说明理由．

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13、已知函数 $f (x) = a \ln (x - 1) + x^{2} - 2 x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $a = - 8$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a < - 2$ 时，试判断 $f (x)$ 的零点个数并证明．

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14、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $\sqrt{3} a \sin B + b \cos ∠ B A C = b$ ， D为 $B C$ 边上的点，且 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

(1)、求 $∠ B A C$ 的大小；

(2)、若 $A D = \frac{15}{8}$ ， $a = 7$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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15、已知椭圆 $A : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $B : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 具有相同的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且 $|O P| = \frac{1}{2} |F_{1} F_{2}|$ （O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $2 e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值为．

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16、已知 $\tan (α + \frac{π}{12}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{2 π}{3}) =$ ．

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{2 n - 1} = 4 n^{2} - 2 a_{n} - 1$ ， $a_{1} = 1$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为．

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18、设定义在R上的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，记 $g (x)$ 的导函数为 $g^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) + g^{'} (x) = 4$ ， $f (x - 1) - g^{'} (3 - x) = 4$ ，若 $g (x)$ 为奇函数，则下列结论一定成立的有（）．

A、 $f (2) + f (4) = 8$ B、 $f (2025) = 4$ C、 $\sum_{n = 1}^{2025} f (n) = 8100$ D、 $g^{'} (4) = 0$

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19、复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} + z_{2} = 4$ ， $z_{1} \cdot z_{2} = 8$ ，则（）．

A、 $|z_{1}| \cdot |z_{2}| = 8$ B、 $|z_{1} - z_{2}| = 4$ C、 $|z_{1}| + |z_{2}| = 4$ D、 $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = 1$

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20、已知 $A (1, 6)$ ， $B (2, 4)$ ， $C (3, 4)$ ， $D (4, 2)$ ， $E (5, 4)$ ， 5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定 $E (5, 4)$ 为“离群点”，故将其去掉，将数据 $E (5, 4)$ 去掉后，下列说法正确的有（）．

A、样本相关系数r变大 B、残差平方和变小 C、决定系数 $R^{2}$ 变大 D、若经验回归直线过点 $(3.5, 2.8)$ ，则其经验回归方程为 $\hat{y} = - 1.2 x + 7$

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