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相关试卷

1、在一个足够大的不透明袋中进行一个 $n$ 轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，向袋中放入两个黑球并取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或 $n$ 轮试验进行完．已知第 $i (i = 1, 2, \dots, n)$ 轮试验开始时，袋中有1个红球， $i$ 个黑球， $(i + i^{2})$ 个白球．

(1)、求第1轮试验成功的概率；

(2)、某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第 $i (i = 1, 2, 3, 4, 5)$ 轮试验成功志愿者的比例 $y_{i}$ ，记 $x_{i} = \frac{1}{i}$ ，发现 $x_{i}$ 与 $y_{i}$ 线性相关，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例；

(3)、记试验结束时，试验成功的概率为 $P_{n}$ ，证明： $P_{n} < \frac{3}{4}$ ．
参考数据： $\bar{x} = 0.46$ ， $\bar{y} = 0.69$ ， ${\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x})}^{2} = 0.42$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 1.503$ ．

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2、已知函数 $f (x) = 3 tan (2 x - \frac{π}{4}) + 1$ ，则（）

A、 $f (\frac{π}{6}) = 7 - 3 \sqrt{3}$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(\frac{k π}{4} + \frac{π}{8}, 1) (k \in Z)$ D、不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集为 $\{x |\frac{k π}{2} - \frac{π}{8} < x \leq \frac{k π}{2} + \frac{π}{4}, k \in Z\}$

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，直线 $l : m y = x + 3 m - 2$ 恒过定点 $P$ ，且与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $|P A| < |P B|$ ，则 $\frac{|P A|}{|P B|}$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 2)$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{4}{5})$ D、 $[\frac{1}{3}, 1)$

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4、已知 ${0.3}^{m} = 2^{n} = 0.4$ ，则（）

A、 $m n < m + n < 0$ B、 $m + n < m n < 0$ C、 $m + n < 0 < m n$ D、 $0 < m n < m + n$

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5、在同一平面直角坐标系内，函数 $y = f (x)$ 及其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 $(0, 1)$ ，则（）

A、函数 $y = f (x) \cdot e^{x}$ 的最大值为1 B、函数 $y = f (x) \cdot e^{x}$ 的最小值为1 C、函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 的最大值为1 D、函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 的最小值为1

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6、（1）函数 $f (x)$ 是一次函数，且 $f (f (x)) = 4 x + 8$ ，求 $f (x)$ 的函数解析式.
（2）已知 $f (\sqrt{x} + 2) = x + 1$ ，求 $f (x)$ 的函数解析式.

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7、设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 6 - x - x^{2} > 0}$ ，集合 $B = {x | \frac{2 x - 1}{x + 3} > 1}$ ．
(Ⅰ)求集合 $A$ 与 $B$ ； (Ⅱ)求 $A \cap B$ 、 $(C_{U} A) \cup B$ ．

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8、记 $\max \{x, y, z\}$ 表示 $x, y, z$ 中的最大者，设函数 $f (x) = \max \{- x^{2} + 4 x - 2, - x, x - 3\}$ ，若 $f (m) < 1$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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9、关于的方程 $\frac{x}{x - 1} = \frac{k - 2 x}{x^{2} - x}$ 的解集中只含有一个元素，则 $k$ 的所有可能值组成的集合是．

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10、已知实数 $x ， y$ 满足 $1 < x < 8 ， 2 < y < 3$ ，则（）

A、 $3 < x + 2 y < 9$ B、 $- 2 < x - y < 6$ C、 $2 < x y < 24$ D、 $\frac{1}{2} < \frac{x}{y - 1} < 8$

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11、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(0, + \infty)$ 上的单调函数，且 $f [f (x) - \frac{1}{x}] = 2$ ，则 $f (2)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、0

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12、若 $m < n$ ， $p < q$ ，且 $(p - m) (p - n) > 0$ ， $(q - m) (q - n) < 0$ ，则 $m$ ， $n$ ， $p$ ， $q$ 的大小顺序是

A、 $m < p < q < n$ B、 $p < m < q < n$ C、 $m < p < n < q$ D、 $p < m < n < q$

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13、若“ $4 a < x < a + 3$ ”是“ $- 3 < x < 2$ ”的必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 \leq a \leq - \frac{3}{4}$ B、 $- 1 \leq a < - \frac{3}{4}$ C、 $- 1 < a \leq - \frac{3}{4}$ D、 $- 1 < a < - \frac{3}{4}$

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3 x + 1 ， x > 2 \\ f (x + 3) ， x \leq 2 \end{array} ， f (0) =$ （）

A、 $- 2$ B、4 C、10 D、16

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15、俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设 $f (x)$ 是定义在 $[m, n]$ 上的连续函数，称 $E = max_{m \leq x \leq n} |f (x) - (a x + b)|$ 为 $f (x)$ 与直线 $g (x) = a x + b$ 的偏差.若存在 $x_{0} \in [m, n]$ 使得 $|f (x_{0}) - g (x_{0})| = E$ ，则称 $x_{0}$ 为直线 $g (x)$ 的偏差点.记 $A = \{g (x) = a x + b ∣ a, b \in R\}$ ，若存在 $g_{0} (x) \in A$ 使得 $max_{m \leq x \leq n} |f (x) - g_{0} (x)| = min_{a, b \in R} max_{m \leq x \leq n} |f (x) - g (x)|$ 则称 $g_{0} (x)$ 为 $f (x)$ 在切比雪夫意义下的最佳逼近直线.

(1)、函数 $f (x) = x^{2}$ ， $x \in [- 1, 2]$ ， $g (x) = x + 1$ ，求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的偏差以及偏差点；

(2)、函数 $f (x) = 3 x + \frac{4}{x}$ ， $x \in [1, 4]$ ， $g (x) = 2 x + b$ ，求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的偏差的最小值，并求出取得最小值时 $b$ 的值；

(3)、证明：直线 $g (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}$ 是函数 $f (x) = \sqrt{x}$ 在 $x \in [0, 4]$ 上的最佳逼近直线.

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16、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ ，若 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，且当 $x \neq 0$ 时 $f (x) = f (\frac{1}{x})$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值，并写出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、若对任意的 $x \in [\frac{1}{3}, \frac{3}{4}]$ 都有 $f (x) + f (3 x - m) \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品.经测算，该项目月处理成本 $y$ （元）与月处理量 $x$ （吨）之间的函数关系可近似地表示为 $y = \{\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} - 80 x^{2} + 5040 x, x \in [120, 144) \\ \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000, x \in [144, 500] \end{array}$ ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿.

(1)、当 $x \in [200, 300]$ 时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？

(2)、该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

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18、已知函数 $f (x) = (a^{2} - 2 a - 2) a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）过点（0，1）.

(1)、求 $a$ 的值，并写出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $F (x) = f (x) - \frac{1}{f (x)}$ 的奇偶性，并用定义证明；

(3)、若 $f (x) = h (x) + t (x)$ ，且 $h (x)$ 为奇函数， $t (x)$ 为偶函数，写出 $h (x)$ 的解析式（无需证明）.

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19、设 $U = R$ ， $A = {x ∣ 2 < x < 4}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} - 4 x + a \leq 0, a \in R\}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ， $(∁_{U} A) \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = a x^{2} - b x - a + b$ ， $x \in [0, m]$ ，对任意 $2 b \geq a > 0$ ，不等式 $f (x) \leq (2 b - a) (x + 1)$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为.

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