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相关试卷

1、2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员．

(1)、设“女生甲被选中”为事件 $A$ ， “男生乙被选中”为事件 $B$ ，求 $P (B |A)$ ；

(2)、设所选3人中男生人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，下顶点为 $A$ ，直线 $A F_{2}$ 交椭圆 $C$ 于点 $B$ ， $△ A B F_{1}$ 的内切圆与 $B F_{1}$ 相切于点 $P$ ，若 $\frac{|P F_{1}|}{|P B|} = \frac{1}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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3、已知 $sin (α + β) = 2 cos (α - β)$ ， $tan α + tan β = \frac{4}{3}$ ，则 $tan α \cdot tan β =$ ．

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4、 $(x + 1) {(1 - 2 x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数为．

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5、如图，在边长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点， $P$ 是底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、存在 $P$ 满足 $A P + P C_{1} = 2 \sqrt{10}$ B、若 $D P / /$ 平面 $C E F$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ C、若 $A P = 3 \sqrt{2}$ ，则点 $P$ 到平面 $C E F$ 距离最小值为 $\frac{8}{3}$ D、若 $P$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则三棱锥 $P - C E F$ 的外接球的表面积是 $41 π$

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6、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，设 $O$ 为坐标原点，则（）

A、 $p = 2$ B、 $y_{1} y_{2} = - 1$ C、 $|A F| \cdot |B F| \geq 4$ D、若 $B$ 在抛物线准线上的射影为 $B^{'}$ ，则 $A, O, B^{'}$ 三点共线

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7、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，其中 $M (1, 0)$ ， $N (5, 0)$ ，则（）

A、 $ω = \frac{π}{4}$ B、 $φ = - \frac{π}{4}$ C、函数 $y = f (x) - \frac{1}{3} x$ 有5个零点 D、 $f (x)$ 在 $[6, 8]$ 上单调递增

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8、一枚质地不均匀的正四面体骰子，各面分别标有1，2，3，4，掷出点数朝下为1，2，3，4点的概率依次成等差数列，独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为 $a, b$ ，若事件“ $a + b = 5$ ”发生的概率为 $\frac{19}{81}$ 则事件“ $a = b$ ”发生的概率为（）

A、 $\frac{43}{162}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{53}{162}$ D、 $\frac{29}{81}$

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9、已知平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2} A C = 2 C D = 4$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ B C D = 135 °$ ，若平面四边形 $A B C D$ 绕 $C D$ 旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{40 π}{3}$ B、 $\frac{32 π}{3}$ C、 $\frac{28 π}{3}$ D、 $8 π$

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10、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则“ $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} > a_{n}$ ， ”是“ $\{a_{n}\}$ 是递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、若直线 $y = k x - 1$ 与曲线 $y = ln x$ 相切，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、 $\frac{e}{2}$ D、 $e$

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12、已知集合 $A = \{x |1 < x < 2\}$ ， $B = \{x |x < a\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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13、在复平面内，复数 $z$ 与 $\frac{2}{1 - i}$ 对应的点关于实轴对称，则 $z =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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14、设 $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $C_{2}$ 公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点 $M$ ， $△ M F_{1} F_{2}$ 是以线段 $M F_{1}$ 为底边的等腰三角形，且 $|M F_{1}| = 2 ．$ 若椭圆 $C_{1}$ 的离心率 $e \in [\frac{3}{8}, \frac{4}{9}]$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的离心率取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{4}, \frac{5}{3}]$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(1, 4]$ D、 $[\frac{3}{2}, 4]$

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15、牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，r是函数 $f (x)$ 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， … $x_{n - 1}$ ， $x_{n}$ ，在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处作 $f (x)$ 的切线，则 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标是 $x_{1}$ ，同理 $f (x)$ 在 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与x轴交点的横坐标是 $x_{2}$ ，一直继续下去，得到数列 $\{x_{n}\} (n \in N^{*})$ ，从图中可以看到， $x_{1}$ 较 $x_{0}$ 接近r， $x_{2}$ 较 $x_{1}$ 接近r，……，当n很大时， $|x_{n} - r|$ 很小，我们就可以把 $x_{n}$ 的值作为r的近似值，即把 $x_{n}$ 作为函数 $f (x)$ 的近似零点.现令 $f (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ .

(1)、当 $x_{0} = 1$ 时，求 $f (x) = 0$ 的近似解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ；

(2)、在（1）的条件下，求数列 $\{x_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、当 $x > 0$ 时，令 $g (x) = \frac{1}{3} x \cdot ln [f (\frac{x - 1}{2})]$ ，若 $- \frac{1}{4} < m < 0$ 时， $g (x) = m$ 有两个不同实数根 $α$ ， $β (α < β)$ .求证： $\sqrt{1 + 4 m} < β - α < m + 1$ .

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16、甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有 $m (m \geq 1, m \in N^{*})$ 个红球和4个白球，乙口袋有 $n (n \geq 1, n \in N^{*})$ 个红球和2个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.

(1)、当 $m = n = 4$ 时.
（i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
（ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(2)、当 $m = 2 n$ 时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？

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17、如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， E是 $B C$ 的中点， $A E \cap B D = M$ ，将 $△ B A E$ 沿着 $A E$ 翻折成 $△ B_{1} A E$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $B_{1} D M$ ；

(2)、若平面 $B_{1} A E ⊥$ 平面 $A E C D$ ，求平面 $B_{1} M D$ 与平面 $B_{1} A D$ 夹角的余弦值；

(3)、在线段 $B_{1} C$ 上是否存在点P，使得 $M P //$ 平面 $B_{1} A D$ ，若存在，求出 $\frac{B_{1} P}{B_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ，若点P是平面上一动点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ，设动点P的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若直线 $y = k (x - 1)$ 与曲线C交于A，B两点，且 $D (\frac{1}{2}, 0)$ ， $|D A| = |D B|$ ，求k的值.

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19、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a cos C + c cos A = 2 b cos A$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $b c = 16$ ，求 $△ A B C$ 外接圆面积的最小值.

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20、用平面截圆锥可得到不同的圆锥曲线.如图，已知圆锥 $P O$ 的侧面积为 $2 \sqrt{2} π$ ，它的轴截面为等腰直角三角形.过圆锥底面圆心O作平面 $α$ ，使圆锥轴 $P O$ 与平面 $α$ 成45°角，此时平面 $α$ 截圆锥侧面所得图形记为抛物线C，则抛物线C的焦点到准线的距离为.

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