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相关试卷

1、高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数 $y = [x]$ 称为高斯函数，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，如 $[1.2] = 1$ ， $[- 2] = - 2$ .设函数 $f (x) = x^{2} - x [x]$ ，则使不等式 $f (x) - 2 a x^{2} \leq 0$ 恒成立的实数 $a$ 的最小值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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2、若函数 $y = \sin^{2} (x + \frac{π}{6})$ 与函数 $y = \sin 2 x + a \cos 2 x$ 的图象的对称轴相同，则实数a的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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3、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是三个非零向量，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，若关于 $x$ 的方程 $\vec{a} x^{2} + \vec{b} x + \vec{c} = \vec{0}$ 有两个实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则

A、 $x_{1} > x_{2}$ B、 $x_{1} = x_{2}$ C、 $x_{1} < x_{2}$ D、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 大小不确定

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4、一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是 (　　)

A、 $\frac{\sqrt{6 π}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{π}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2 π}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{π}}{2 π}$

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5、使 $x > y$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x^{\frac{1}{3}} > y^{\frac{1}{3}}$ B、 $x - y + \frac{1}{x - y} > 2$ C、 $ln x^{2} > 2 ln y$ D、 $a^{x - y} > 1 (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$

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6、定义集合 $A * B = {x | x \in A$ 且 $x \notin B}$ ，若 $A = {1, 3, 5, 7}$ ， $B = {2, 3, 5}$ ，则 $A * B$ 的子集个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、已知 $F^{'}$ 、F分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A (1, \frac{3}{2})$ 在椭圆C上，且 $△ A F F^{'}$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点 $T (4, 0)$ 的直线l与线段AF相交于S，与椭圆交于P、Q两点.
（Ⅰ）证明： $∠ P F S = ∠ Q F S$ ；
（Ⅱ）若 $S_{△ A Q S} = S_{△ P F S}$ ，求点P的坐标.

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8、已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a x^{2} - 4 x$ ， $g (x) = \ln x$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求函数 $y = f (x) + 3 g (x)$ 的极值；

(2)、设 $b > 0$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数， $g^{'} (x)$ 是 $g (x)$ 的导数， $h (x) = f^{'} (x) + b g^{'} (x) + 4$ ， $h (x)$ 图像的最低点坐标为 $(2, 4)$ ，对于任意正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} = 1$ ， $h (x_{1}) h (x_{2}) \geq m$ 恒成立.求实数m的最大值.

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9、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，且各棱长均为2. $D, E, F$ 分别为棱 $A B, B C, A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E F //$ 平面 $A_{1} C D$ ；

(2)、求直线 $B B_{1}$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值.

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10、某公司在年终总结大会上开展了一次趣味抽奖活动.活动规则为：先在一个密闭不透光的箱子中装入6个标有一定金额的球（除标注金额不同外，其余均相同），其中标注金额为10元、20元、50元的球分别有3个、2个、1个.若员工甲每次从箱子中随机摸出1个球，记下摸出的球上的金额数，摸m次.规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的抽奖奖金总金额.

(1)、若 $m = 1$ ，设员工甲获得的金额 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、若 $m = 2$ ，采用有放回方式摸球，设事件 $X =$ “员工甲获得的总金额不低于40元”，求 $P (X)$ .

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11、已知 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右顶点，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} (x - a)$ 与双曲线C的左支相交于一点M，满足 $∠ M A_{1} A_{2} = 4 ∠ M A_{2} A_{1}$ ，则双曲线C的离心率的值为.

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12、已知正三棱锥 $A - B C D$ 底面边长为2，其内切球的表面积为 $\frac{2π}{3}$ ，则二面角 $A - B C - D$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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13、若直线 $l : y = x + m$ 与曲线 $C : x = 3 - \sqrt{4 y - y^{2}}$ 有公共点，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- 3, 2 \sqrt{2} - 1]$ B、 $[- 2 \sqrt{2} - 1, - 3]$ C、 $[- 3, 2 \sqrt{2} - 1]$ D、 $[- 2 \sqrt{2} - 1, 2 \sqrt{2} - 1]$

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14、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $\sin C = 2 \sin B$ .则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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15、已知复数 $z = i + i^{9}$ ，则 $|z \cdot i| =$ （）

A、0 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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16、已知集合 $A = \{x | x - 3 > 1\} ， B = {x | y = \frac{1}{\sqrt{7 - x}}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(4, 7]$ B、 $(2, 7]$ C、 $(4, 7)$ D、 $(2, 7)$

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17、对任意给定的 $n \in N^{*}$ ，若有穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{m} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k ， m - 1} ， (\forall m \leq n 且 m \in N^{*})$ 其中 $X_{k, i} = \{\begin{cases} 0 ， a_{k} \neq i \\ 1 ， a_{k} = i \end{cases}$ ．则称该数列为“ $D$ 数列”．

(1)、当 $n \in \{1 ， 2\}$ 时，是否存在符合条件的“ $D$ 数列”？若存在，请求出所有的符合条件的“ $D$ 数列”：若不存在，请说明理由：

(2)、证明：（i） $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = n$ ；
（ii）当 $n \geq 7$ 时，任意符合条件的“ $D$ 数列”都满足 $a_{2} \geq 2$ ；

(3)、当 $n = 20$ 时，求出所有的“ $D$ 数列”．

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18、已知 $a$ 、 $b \in R$ ，函数 $f (x) = x e^{- x} - a e^{x} + b$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 2 (x + 1)$ ，求 $a + b$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若对 $\forall b \in R$ ，函数 $f (x)$ 至多有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

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19、如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 边上一点，满足 $A D = 1, D E / / O C$ ．将 $△ A D E, △ B O C$ 分别沿着 $D E, O C$ 翻折成 $△ A^{'} D E, △ B^{'} O C$ ，满足 $A^{'}, B^{'}$ 在平面 $C O D E$ 的同一侧， $A^{'} D ⊥$ 面 $C O D E, B^{'} O ⊥$ 面 $C O D E$ ．

(1)、证明： $A^{'}, B^{'}, C, E$ 共面；

(2)、在线段 $B^{'} C$ 上是否存在一点 $F$ （异于端点），满足 $E F / /$ 平面 $A^{'} D O B^{'}$ ？若存在，求出点 $F$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(3)、在（2）的情况下，求直线 $C E$ 与平面 $O D F$ 所成角的正弦值．

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20、已知等轴双曲线 $C$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，经过点 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 的渐近线相交于点 $M, N$ ，点 $M$ 的横坐标为 $- 1$ ， $N$ 是线段 $F_{2} M$ 的中点，经过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、当 $△ A B F_{2}$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{10}}{3}$ 时，求 $l$ 的方程．

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