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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $△ A B E$ 是正三角形，四边形 $A B C D$ 是正方形， $B C ⊥$ 平面 $A B E, F$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $A F ⊥ D E$ ；

(2)、求直线 $A F$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值．

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2、为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍．

(1)、根据题中信息，完成下面列联表；
单位：人
性别
喜爱情况
合计
喜爱
不喜爱
男
女
合计

(2)、根据（1）中的列联表，依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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3、将数列 ${3 n + 2}$ 与 ${4 n}$ 中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{5} =$ ， $\{a_{n}\}$ 的前202项和为．

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4、4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有种．

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{2 m - 3} = 1$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则 $m =$ ．

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6、在平面直角坐标系 $O x y$ 中，动点P在直线 $l : x + y = 0$ 上的射影为点Q，且 $\sqrt{2} | O P | | P Q | = 1$ ．记P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（）

A、C关于直线l对称 B、C上存在点 $M (x_{0}, y_{0})$ ，使得 $x_{0}^{2025} + y_{0}^{2025} = 1$ C、 $| O P |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若C与两条坐标轴的正半轴所围成的面积为S，则 $\frac{1}{2} < S < \frac{\sqrt{2}}{2}$

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7、已知锐角三角形 $A B C$ 的内角分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，则（）

A、 $\sin [\cos (A - B)] > \sin (\cos C)$ B、 $\tan (\sin A) < \tan (\cos B)$ C、 $\sin (\sin A) > \sin (\tan A)$ D、 $\cos (\cos A) > \cos (\sin B)$

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8、已知复数 $z_{1} = 1 + i, z_{2} = 1 - i$ ，则下列复数为纯虚数的是（）

A、 $z_{1} z_{2}$ B、 $z_{1} - z_{2}$ C、 $z_{1}^{2}$ D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{3}$ ，以顶点A为球心， $\sqrt{7}$ 为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（）

A、 $3 π$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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10、若函数 $f (x) = 3 \sin x + 2 \cos x$ 在 $[0, α]$ 上单调递增，则当 $α$ 取得最大值时， $\cos α =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$

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11、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与直线 $l : x - y - 3 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且线段 $A B$ 中点的横坐标为 $7$ ，则 $p =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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12、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ，则不等式 $f (2 x - 1) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(0, \frac{1}{2}) \cup (1, + \infty)$ C、 $(0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, 1)$

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13、某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量 $ξ$ （单位：g）近似服从正态分布 $N (50, 4)$ ，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过 $52g$ 的草莓有（）
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826, P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ．

A、228个 B、456个 C、1587个 D、3174个

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14、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1, 2), \vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = 3 x + 1$ C、 $y = 2 x$ D、 $y = 3 x$

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16、已知集合 $A = {x ∣ x + 2 > 0}, B = \{x ∣ x^{2} < 16\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 4, + \infty)$ B、 $(- 2, 4)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(- \infty, - 2)$

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17、如图，在梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2 C D$ ， $A D = C D = 1$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在直线 $D C$ 和 $B C$ 上，且 $\vec{B F} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{D E} = λ \vec{D C}$ ，连接 $B D$ 交 $A F$ 于点 $P$ ．

(1)、设 $\vec{A P} = t \vec{A F}$ ，用 $\vec{A B}$ 和 $\vec{A D}$ 表示 $\vec{A F}$ ，并求实数 $t$ 的值；

(2)、若 $A E ⊥ A F$ ，求实数 $λ$ 的值；

(3)、求 $|\vec{A E} + \frac{1}{2} \vec{A F}|$ 的取值范围．

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18、已知向量 $\overset{⇀}{m} = (1, 1)$ ，向量 $\overset{⇀}{n}$ 与向量 $\overset{⇀}{m}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，且 $\overset{⇀}{m} • \overset{⇀}{n} = - 1$ .
（1）求向量 $\overset{⇀}{n}$ ；
（2）设向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 0)$ ，向量 $\overset{⇀}{b} = (\cos x, \cos^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{2}))$ ，其中 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，若 $\overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{a} = 0$ ，试求 $|\overset{⇀}{n} + \overset{⇀}{b}|$ 的取值范围.

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19、在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是BC，CC₁ ， C₁D₁ ， A₁A的中点．求证：
（1）BF $//$ HD₁；
（2）EG $//$ 平面BB₁D₁D．

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20、如图，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = A D = 1, C B = C D = \sqrt{3}, A C = 2$ ，点 $P$ 在边 $C D$ 上，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B P}$ 的最小值为.

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性别	喜爱情况		合计
性别	喜爱	不喜爱	合计
男
女
合计

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635