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相关试卷

1、设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左､右焦点，点 $P$ 是以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $P F_{2}$ 与椭圆交于点 $Q$ ，若 $|P F_{1}| = 6 |Q F_{2}|$ ，则直线 $P F_{2}$ 的斜率为（）

A、4 B、 $- 4$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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2、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的第二项为1，则“ $a_{2020} < a_{2023}$ ”是“ $a_{2022} < a_{2024}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 均为等差数列，且 $a_{1} = 1, b_{1} = 5, a_{2} + b_{2} = 8$ ，设数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，则 $S_{30} =$ （）

A、1335 B、900 C、1020 D、1050

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4、如图1，在四面体 $O A B C$ 中，点 $M, N$ 分别为线段 $O A, B C$ 的中点，若 $\vec{M N} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则 $x + y - z$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5、若直线 $m x + y - 4 m - 1 = 0$ 的斜率小于0，那么该直线不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + 1$ ，则 $\frac{a_{5} + a_{6}}{a_{2}} =$ （）

A、7 B、8 C、12 D、24

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7、准线方程为 $y = 1$ 的抛物线的标准方程是（）

A、 $x^{2} = - 4 y$ B、 $y^{2} = 8 x$ C、 $y^{2} = - 4 x$ D、 $x^{2} = - 8 y$

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8、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm 3 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{3} x$

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $H (1, - \frac{3}{2})$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设过点 $P (4, 3)$ 且倾斜角为 $135^{\circ}$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $M, N$ ，点 $R$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，求 $△ R M N$ 面积的最小值.

(3)、如图，过点 $P (4, 3)$ 作两条直线 $A B, C D$ 分别与椭圆 $C$ 相交于点 $A, B, C, D$ ，设直线 $A D$ 和 $B C$ 相交于点 $Q$ .证明点 $Q$ 在定直线上.

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10、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 有且只有一个实数根，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) + f (1 - x) \geq a$ 对 $\forall x \in [\frac{1}{2}, 2]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = x + 1, g (x) = x^{2} - 1$ .

(1)、若 $a \in R$ ，求不等式 $a f (x) + g (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $b \in R$ ，对 $\forall x_{1} \in [1, 2], \exists x_{2} \in [4, 5]$ ，使得 $b f (x_{1}) + f (x_{2}) = g (x_{1}) + b + 8$ 成立，求 $b$ 的取值范围.

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12、设数列 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正实数的等比数列，且 $a_{3} - a_{2} = 4, a_{1} = 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} + {log}_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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13、如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域 $A, B, C, E$ 进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有种.

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14、已知 $a, b$ 均为实数且 $a > 0, b > 0, a + b = 3$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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15、已知 $g (x) = x^{3} f (x), f (x), g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x), g^{'} (x)$ ，且 $f (1) = f^{'} (1) = 2$ ，则 $g^{'} (1) =$ .

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16、已知各项均不为0的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1, S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1} + 1}{4}$ ，对于任意 $n \in N^{*}, 2^{n} \cdot λ \geq S_{n}$ 成立，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{2} = 3$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 4 n - 1$ C、 $S_{n} = n^{2}$ D、实数 $λ$ 的取值范围为 $[\frac{9}{8}, + \infty)$

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17、某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价 $x$ （元）
40
50
60
70
80
90
销量 $y$ （件）
50
44
43
$m$
35
28
由表中数据，求得线性回归方程为 $\hat{y} = - 0.4 x + 66$ ，则下列说法正确的是（）

A、产品的销量与单价成负相关 B、为了获得最大的销售额（销售额 $=$ 单价 $\times$ 销量 $)$ ，单价应定为70元或80元 C、 $m = 40$ D、若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为 $\frac{1}{3}$

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18、函数 $f (x) = a x^{2} + 4 x + 1$ 与 $g (x) = x^{a}$ 在同一直角坐标系中的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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19、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [- 1, 0), x_{1} < x_{2}, \frac{x_{2} e^{x_{1}} - x_{1} e^{x_{2}}}{x_{1} - x_{2}} < a$ 恒成立，则 $a$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{e^{2}}$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、 $- \frac{2}{e^{2}}$ D、 $- \frac{2}{e}$

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20、已知 $a = \frac{3}{2}, 3^{b} = 6, c = {log}_{5} 8$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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单价 $x$ （元）	40	50	60	70	80	90
销量 $y$ （件）	50	44	43	$m$	35	28