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相关试卷

1、二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（　　）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $π$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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2、如果函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x - 3$ 在区间 $(- \infty, 4)$ 上是单调递增的，则实数 $a$ 的取值范围（　　）

A、 $a > - \frac{1}{4}$ B、 $a \geq - \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{4} \leq a < 0$ D、 $- \frac{1}{4} \leq a \leq 0$

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3、 $\cos (- \frac{45 π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4、集合 $A = \{x | 2 \leq x < 4\}, B = \{x | 2^{x} \geq 8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2, 4)$ B、 $[3, 4)$ C、 $[2, 3]$ D、 $[3, + \infty)$

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5、设 $l$ 是直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A、若 $l$ ∥ $α$ ， $l$ ∥ $β$ ，则 $α$ ∥ $β$ B、若 $l$ ∥ $α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β, l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $l$ ∥ $α$ ，则 $l ⊥ β$

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6、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} + a}$ 为奇函数.

(1)、求实数a的值；

(2)、设函数 $g (x) = \log_{2} \frac{x}{2} \cdot \log_{2} \frac{x}{4} + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2, 8]$ ，总存在 $x_{2} \in (0, 1]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数m的取值范围.

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7、如图，在几何体中，四边形 $A B C D$ 为菱形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点为O，四边形 $D C E F$ 为梯形， $D C ∥ E F$ .

(1)、若 $D C = 2 E F$ ，求证： $O E / /$ 平面 $A D F$ ；

(2)、若 $F B = F D$ ，求证：平面 $A F C ⊥$ 平面 $A B C D$ .

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8、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，设向量 $\vec{m} = (a, b)$ ， $\vec{n} = (\cos (\frac{π}{2} - B), \cos (\frac{π}{2} - A))$ ， $\vec{p} = (2 - b, 2 - a)$ .

(1)、若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，求证： $△ A B C$ 为等腰三角形；

(2)、若 $\vec{m} ⊥ \vec{p}$ ，边长 $c = 2$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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9、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 、 $P C$ 、 $B C$ 的中点，且 $P A = P B$ ， $A C = B C$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、证明：平面 $P A B //$ 平面 $F G H$ .

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10、如图，在边长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 中点，

(1)、证明： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求三棱锥 $E - A D C$ 的体积．

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11、在四面体 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ P B$ ， $P A = P B = 3$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = \sqrt{6}$ ，则该四面体外接球的表面积为.

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12、已知 $z = \frac{1 + a i}{1 + i^{2023}} (a \in R)$ ，若 $z$ 为纯虚数，则 $|z| =$ ．

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13、已知向量 $\vec{a} = (2 - t, - 3), \vec{b} = (- 1, 2 + t)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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14、函数 $f (x) = 4 sin (ω x + φ) (0 < ω \leq 2, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 C、 $f (x) = 4 cos (\frac{1}{2} x - \frac{2 π}{3})$ D、若方程 $f (x) = 2$ 在 $(0, m)$ 上有且只有5个根，则 $m \in (\frac{26 π}{3}, 10 π]$

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15、已知复数 $z = \frac{i^{8}}{1 - i}$ ， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的实部为 $\frac{1}{2}$ B、复数 $\bar{z}$ 在复平面中对应的点在第四象限 C、 $z > \bar{z}$ D、 $z \cdot \bar{z} = \frac{1}{2}$

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16、攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖.通常有圆形攒尖，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面是底边长为 $6$ m，顶角为 $\frac{2 π}{3}$ 的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）.

A、 $3 \sqrt{3} π$ m² B、 $6 π$ m² C、 $6 \sqrt{3} π$ m² D、 $12 \sqrt{3} π$ m²

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17、如图， $△ A O B$ 为直角三角形， $O A = 1$ ， $O B = 2$ ， C为斜边 $A B$ 的中点，P为线段 $O C$ 的中点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{O P}$ ＝（　　）

A、1 B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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18、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, \vec{b} = (3, 0), |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{10}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{6}, 0)$ B、 $(\frac{1}{3}, 0)$ C、 $(\frac{1}{2}, 0)$ D、 $(1, 0)$

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19、已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减， $a = f (\ln 2.04)$ ， $b = f (- 1.04)$ ， $c = f (e^{0.04})$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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20、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、 $- 16$ B、16 C、 $- 9$ D、9

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