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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \lg [(a^{2} - 1) x^{2} + (a + 1) x + 1]$ .
（1）若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知函数f(x)＝ $\frac{b - 2^{x}}{2^{x} + 1}$ 为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝．

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3、已知正数 $x, y, z$ 满足 $5^{x} = 9^{y} = 15^{z}$ ，则（）

A、 $x z + 2 y z - 2 x y = 0$ B、 $5 x < 9 y < 15 z$ C、 $x y < 2 z^{2}$ D、 $9 x + 2 y < 16 z$

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4、下列命题，其中正确的命题是（）

A、函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} + 4 x + 3}$ 的最小值为2 B、若 $3^{a} = 4^{b} = 36$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的值为1 C、函数 $y = \sqrt{5 + 4 x - x^{2}}$ 的减区间是 $[2, + \infty)$ D、已知 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，若 $a + b > 0$ ，则 $f (a) + f (b) > f (- a) + f (- b)$

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5、已知定义在R上的函数 $f (x) = x^{2} - 2 t x + 1$ ，在 $(- \infty, 1]$ 上单调递减，且对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [0, t + 1]$ ，总有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq 2$ ，则实数t的取值范围是（）

A、 $[1, \sqrt{2}]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[1, 3]$

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6、若函数 $f (x) = \sqrt{2 x^{2} - m x + 3}$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，则实数m的取值范围是（）．

A、 $(- \infty, - 2 \sqrt{6}]$ B、 $(- \infty, - 2 \sqrt{6}] \cup [2 \sqrt{6}, + \infty)$ C、 $[- 2 \sqrt{6}, 2 \sqrt{6}]$ D、 $[2 \sqrt{6}, + \infty)$

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7、已知命题 $p : \frac{a - 4}{a} \leq 0$ ，命题q：不等式 $a x^{2} + a x + 1 \leq 0$ 的解集为 $\emptyset$ ，则p成立是q成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + 2, (x < 0) \\ 3^{x + 1}, (x \geq 0) \end{matrix}$ ，则 $f [f (- 2)] =$

A、3 B、1 C、0 D、 $\frac{1}{3}$

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9、已知函数 $f (x^{2} - x)$ 定义域为 $(0, 2)$ ，则 $f (\frac{1}{x} - 1)$ 定义域是（）

A、 $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}]$ D、 $[\frac{1}{3}, \frac{4}{3}]$

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10、若函数 $y = f (x)$ 的值域是 $[1, 3]$ ，则函数 $F (x) = 1 - f (x + 3)$ 的值域是（）

A、 $[- 8, 3]$ B、 $[- 5, - 1]$ C、 $[- 2, 0]$ D、 $[1, 3]$

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11、若集合 $A = \{x \in Z|4 x - x^{2} > 0\}$ ，则满足 $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的集合B的个数为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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12、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，短轴的其中一个端点为 $B_{1}$ ，长轴端点为 $A_{1}, A_{2}$ ，且 $△ B_{1} F_{1} F_{2}$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形.

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程及离心率；

(2)、若双曲线 $C_{2}$ 以 $A_{1}, A_{2}$ 为焦点，以 $F_{1}, F_{2}$ 为顶点，点 $Q$ 为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的一个交点，求 $△ Q A_{1} A_{2}$ 的面积；

(3)、如图，直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $C_{1}$ 有唯一的公共点 $M$ ，过点 $M$ 且与 $l$ 垂直的直线分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于 $A (x, 0), B (0, y)$ 两点.当点 $M$ 运动时，求点 $P (x, y)$ 的轨迹方程.

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13、如图1，平面图形 $P A B C D$ 由直角梯形 $A B C D$ 和 $Rt △ P A D$ 拼接而成，其中 $A B = B C = 1$ ， $B C ∥ A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P D = \sqrt{2}$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P C$ 与 $A D$ 相交于点 $O$ ，现沿着 $A D$ 将其折成四棱锥 $P - A B C D$ （如图2）．

(1)、当侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ 时，求点 $B$ 到平面 $P C D$ 的距离；

(2)、在（1）的条件下，线段 $P D$ 上是否存在一点 $Q$ ．使得平面 $Q A C$ 与平面 $A C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{P Q}{Q D}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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14、在 ${(1 + x + x^{2})}^{n} = D_{n}^{0} + D_{n}^{1} x + D_{n}^{2} x^{2} + \dots + D_{n}^{r} x^{r} + \dots + D_{n}^{2 n - 1} x^{2 n - 1} + D_{n}^{2 n} x^{2 n}$ 中，把 $D_{n}^{0}$ ， $D_{n}^{1}$ ， $D_{n}^{2}$ …， $D_{n}^{2 n}$ 称为三项式系数.

(1)、当 $n = 2$ 时，写出三项式系数 $D_{2}^{0}$ ， $D_{2}^{1}$ ， $D_{2}^{2}$ ， $D_{2}^{3}$ ， $D_{2}^{4}$ 的值；

(2)、 ${(a + b)}^{n} (n \in N)$ 的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当 $0 \leq n \leq 4$ ， $n \in N$ 时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的 $n$ 次系数的数阵表；

(3)、求 $D_{2016}^{0} C_{2016}^{0} - D_{2016}^{1} C_{2016}^{1} + D_{2016}^{2} C_{2016}^{2} - D_{2016}^{3} C_{2016}^{3} + \dots + D_{2016}^{2016} C_{2016}^{2016}$ 的值（用组合数作答）.

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15、古希腊数学家托勒密对凸四边形 $($ 凸四边形是指没有角度大于 $180^{\circ}$ 的四边形 $)$ 进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形 $A B C D$ 中，

(1)、若 $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = 1, ∠ A C D = \frac{π}{2}, A C = C D$ ， (图1)，求线段 $B D$ 长度的最大值；

(2)、若 $A B = a$ ， $B C = b$ ， $C D = c, D A = d$ ，（图2），求四边形 $A B C D$ 面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形 $A B C D$ 面积的最大值．

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{2} + a_{5} = 12, S_{4} = 16$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{4 S_{n} - 1}, T_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，求 $T_{n}$ 的值.

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17、已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是.

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18、已知M是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若 $∠ M F O = 120^{\circ}$ ，则线段MF的长为.

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19、如图，P是椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0, n > 0)$ 在第一象限的交点， $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ ，且 $C_{1}, C_{2}$ 共焦点的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $|P F_{1}| = a + m, |P F_{2}| = a - m$ B、若 $θ = 60^{\circ}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}} = 4$ C、若 $θ = 90^{\circ}$ ，则 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值为2 D、 $\tan \frac{θ}{2} = \frac{n}{b}$

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20、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的体积为 $4 \sqrt{3} π, P$ 是空间中的一点，则下列命题正确的是（）

A、若点 $P$ 在正方体表面上运动，且 $A P = 2$ ，则点 $P$ 轨迹的长度为 $2 π$ B、若 $P$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 上的点（不包括点 $C_{1}, D_{1}$ ），则直线 $A P$ 与 $C C_{1}$ 是异面直线 C、若点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则始终有 $D_{1} P ⊥ A_{1} D$ D、若点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则三棱锥 $A - B_{1} P D_{1}$ 体积为定值

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