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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $| A B | = \frac{8}{3} |A F_{1}|$ ，且 $\cos ∠ F_{1} B F_{2} = \frac{1}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、3

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2、已知圆锥的顶点为 $S$ ，母线 $S A, S B$ 所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ ，且该圆锥的母线是底面半径的 $\sqrt{2}$ 倍，若 $△ S A B$ 的面积为 $5 \sqrt{15}$ ，则该圆锥的表面积为（）

A、 $40 \sqrt{2} π$ B、 $(40 + 40 \sqrt{2}) π$ C、 $80 \sqrt{2} π$ D、 $(40 + 80 \sqrt{2}) π$

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3、函数 $f (x) = \frac{x^{2} - {sin}^{2} x + \frac{1}{2}}{e^{x} - e^{- x}}$ 的部分图象大致为（）.

A、 B、 C、 D、

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4、若函数 $h (x) = ln x - \frac{1}{2} a x^{2} - 2 x$ 在 $[1, 4]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- \infty, - \frac{7}{16}]$ D、 $(- \infty, - \frac{7}{16})$

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5、已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\tan (\frac{3 π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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6、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，给出以下两个命题：①若数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为 0 的等差数列，则对于任意不小于 2 的正整数 k， $S_{1} \cdot S_{2} \dots S_{2 k - 1} = 0$ 是 $a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{k} = 0$ 的必要非充分条件；②若数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则对于任意不小于2的正整数k， $S_{1} \cdot S_{2} \cdot S_{k} = 0$ 是 $a_{k} + a_{k + 1} = 0$ 的充要条件；下列判断正确的是（）

A、①②均正确 B、①②均错误 C、①对②错 D、①错②对

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7、已知复数 $z = \frac{3 - 4 i}{2 + 2 \sqrt{3} i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{25}{16}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{25}{4}$ D、 $\frac{5}{16}$

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8、已知集合 $A = \{x \in N| x \leq 5\}$ ，集合 $B = \{x| x^{2} - 4 x + 3 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{0, 1, 3, 4, 5\}$ C、 $\{0, 4, 5\}$ D、 $\{4, 5\}$

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9、如图，在三棱柱 $A D P - B C Q$ 中，侧面 $A B C D$ 为矩形．

(1)、设 $M$ 为 $A D$ 中点，点 $N$ 在线段 $P C$ 上，且 $N C = 2 P N$ ，求证： $P M //$ 平面 $B D N$ ；

(2)、若二面角 $Q - B C - D$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，且 $A D = \frac{1}{2} A B$ ，求直线 $B D$ 和平面 $Q C B$ 所成角的正弦值．

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10、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是正方形，侧面 $P A D$ 是等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、求侧面 $P B C$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角的余弦值.

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11、已知空间3条不同的直线m，n，l和平面 $α$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ l$ ， $n ⊥ l$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ n$ ， $m \subset α$ ，则 $n ∥ α$ C、若 $m ∥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ⊥ n$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ⊥ α$

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12、已知复数 $\bar{z}$ 为z的共轭复数，下列命题正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = | z |^{2}$ B、 $| z | = | \bar{z} |$ C、若 $z = \bar{z}$ ，则z为实数 D、 $\bar{z}$ 和z在复平面内对应的点关于虚轴对称

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13、如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将 $△ A F D$ 沿AF折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $A B C$ ，在平面 $A B D$ 内过点D作 $D K ⊥ A B$ ， K为垂足．设 $B K = t$ ，则t的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{3}{2})$ B、 $(1, \sqrt{2})$ C、 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

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14、定义在区间 $D$ 上的函数 $f (x)$ 满足：若对任意 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{2} > \frac{x_{1} - x_{2}}{x_{1} + x_{2}}$ ，则称 $f (x)$ 是 $D$ 上的“好函数”．

(1)、若 $f (x) = a x^{2}$ 是 $[1, + \infty)$ 上的“好函数”，求 $a$ 的取值范围．

(2)、（ⅰ）证明： $g (x) = ln x$ 是 $(0, + \infty)$ 上的“好函数”．
（ⅱ）设 $n \in N^{*}$ ，证明： $ln (2 n + 1) > 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n}$ ．

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15、某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的 $5 %$ ，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．

(1)、为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率；

(2)、经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为 $μ$ ，标准差记为 $σ$ ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ．已知 $μ = 74$ ， $σ = 7$ ，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？
附：若随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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16、我们知道， ${(\frac{a + b}{2})}^{2} - \frac{a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{4} - \frac{a^{2} + b^{2}}{2} = - \frac{{(a - b)}^{2}}{4} \leq 0$ ，因此 ${(\frac{a + b}{2})}^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ ，当且仅当 $a = b$ 时等号成立.即 $a$ ， $b$ 的算术平均数的平方不大于 $a$ ， $b$ 平方的算术平均数.请运用这个结论解答下列两题.
（1）求函数 $f (x) = \sqrt{2 + x} + \sqrt{3 - x}$ 的最大值；
（2）已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若不等式 $m (\sqrt{x} + \sqrt{y}) \leq \sqrt{x + y}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后.

(1)、从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占 $\frac{4}{5}$ ，乙车间优等品占 $\frac{3}{5}$ ，请填写如下列联表：
优等品
非优等品
总计
甲车间
乙车间
总计
依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为车间与优等品有关联？（结果精确到0.001)
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
下表是X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(2)、调查了近10个月的产量 $x_{i}$ （单位：万个)和月销售额 $y_{i}$ （单位：万元)，得到以下数据： $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 20 ， \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 70 ， \sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 88 ， \sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 200$ ，根据散点图认为y.关于x的经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，试求经验回归方程.
参考公式： $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ .

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18、已知 ${(x^{2} - \frac{2}{\sqrt[4]{x}})}^{n}$ 的二项展开式中，前三项的二项式系数的和为46．

(1)、求展开式中所有项的系数的和：

(2)、求展开式中的常数项．

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19、定义 $\prod (A)$ 为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合 $M = \{- \frac{2}{3} ， \frac{5}{4} ， 1 ， 3 ， 7 ， 8 ， - \frac{1}{2}\}$ ，集合M的所有非空子集依次记为 $M_{1}$ 、 $M_{2}$ 、…、 $M_{127}$ ，则 $\prod (M_{1}) + \prod (M_{2}) + ... + \prod (M_{127}) =$ .

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20、对具有线性相关关系的变量 $x, y$ 有一组观测数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2...10), \bar{x} = 5, \bar{y} = - 4$ ，其经验回归方程 $\hat{y} = - 3.2 x + \hat{a}$ ，则在样本点 $(3, 2.9)$ 处的残差为.

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	优等品	非优等品	总计
甲车间
乙车间
总计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828